指数函数及对数函数

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1、指数函数指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)(x∈R).它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。　　指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于0的时候等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：d（a^x）/dx=a^x*ln(a)。　　作为实数变量x的函数，y=ex的图像总是正的(在x轴之上)并递增(

2、从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。　　有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如kax的  指数函数函数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。　　指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且≠1)(x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=a^x中可以看到：　　（1）指数函数的定义域为

3、所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，　　同时a等于０函数无意义一般也不考虑。　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。　　（3）函数图形都是下凸的。　　（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过  指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增

4、的一个过渡位置。　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。　　（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)　　（8）显然指数函数无界。　　（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。　　（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。　　（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。底数的平移：　　对于任何一个有意义的指数函数：　　在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。　　在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数

5、，图像会向下平移。　　即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：　　  指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。　　（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。幂的大小比较：　　比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等

6、式的传递性得到A与B之间的大小。　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：　　（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.　　（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可  指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0

7、，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.　　（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：　　<1>对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。　　<2>在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：a〉1且x〉0，或0〈a〈1且x〈0）时，a^

8、x大于1，异向时a^x小