指数函数及对数函数复习.doc

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1、.　指数与指数函数基础梳理1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1在(

2、－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数　对数与对数函数基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义：如果(a＞0且a≠1)，那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN..2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(对数恒等式)①；②(a＞0且a≠1)．(2)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－loga

3、N；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)对数的换底公式(a，b均大于零且不等于1)；推论：；；.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数：指数函数y＝ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．练习检测1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为(　　)．A．0B.C．1D...解析　由题意有3a＝

4、9，则a＝2，∴tan＝tan＝.答案　D2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2

5、x－1

6、的图象是(　　)．解析　f(x)＝故选B.答案　B3．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是(　　)．A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值解析　设y＝f(x)，t＝2x＋1，则y＝，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y＝在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案　A4．(2011·天津)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)．A．a＞b

7、＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b解析　c＝log30.3＝5－log30.3＝5log3，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，log3＞log33＝1，又log23.4＞log2＞log3，∴log23.4＞log3＞log43.6又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b.答案　C..5．(2012·天津一中月考)已知，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.解析　由已知条件(a＋a－)2＝9.整理得：a＋a－1＝7又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47.答案　7　47　

8、　6.化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)；(2).[审题视点]熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．解　(1)原式＝＝a－－－·b＋－＝.(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷＝－a－·b－＝－·＝－.化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．【训练1】计算：(1)；(2)...解　(1)原式＝－－(－1)－2－2＋－1＝－49＋－1＝－45.(2)原式＝·a·a－

9、·b·b－＝a0·b0＝.7.函数y＝的图象大致为(　　)．[审题视点]函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性．解析　y＝＝1＋，当x＞0时，e2x－1＞0且随着x的增大而增大，故y＝1＋＞1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案　A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数y＝，y＝，y＝lg(10x－1)等．8.已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是________．解析　作函数y＝f(x)＝10x，y

10、＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图象如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图象是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和