原创新课堂2016秋八年级数学上册_14 勾股定理专题课堂（五）勾股定理课件 （新版）华东师大版

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专题课堂(五)勾股定理第14章　勾股定理 勾股定理与拼图类型(1)利用拼图证明勾股定理；(2)利用勾股定理求拼图中的面积；(3)利用勾股定理求拼图中的边长．例1(2015·株洲)如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，求AH的长． 2．(2015·遵义)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝____．12 利用勾股定理证明线段的平方关系类型(1)利用多个直角三角形进行边的代换证明平方关系；(2)将平方关系中的三条线段转移到一个直角三角形进行证明．例3如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：BE2＋CF2＝EF2. 分析：由中线倍长法构造全等三角形，将BE，CF，EF转移到一个直角三角形中即可得证．解：证明：延长FD至M，使DM＝DF，连结BM，EM.易证△BDM≌△CDF，∴BM＝CF，∠DBM＝∠C，∴∠EBM＝∠EBD＋∠DBM＝∠EBD＋∠C＝90°，∵∠EDF＝90°，∴ED是FM的垂直平分线，∴EM＝EF.在Rt△BEM中，BE2＋BM2＝EM2，∴BE2＋CF2＝EF2 【对应训练】4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AC2＝AE2－BE2.解：证明：AC2＝AD2－CD2＝AE2＋DE2－BD2＝AE2－(BD2－DE2)＝AE2－BE2 勾股定理及其逆定理的综合运用类型(1)判断三角形是直角三角形；(2)求角的度数；(3)求图形的面积．例5如图，点E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数． 分析：连结E′E，易知△BEE′是等腰三角形，可得E′E2＝8，根据勾股定理的逆定理，可得出∠CE′E＝90°，从而可求出∠BE′C的度数．解：连结E′E，由题意知△BEE′是等腰直角三角形，∴∠BE′E＝45°，E′E2＝EB2＋E′B2＝22＋22＝8，∵E′C2＋E′E2＝12＋8＝9，CE2＝32＝9，E′C2＋E′E2＝CE2，∴∠CE′E＝90°，∴∠BE′C＝45°＋90°＝135° 【对应训练】6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：(1)AP＝CQ，证△ABP≌△CBQ(2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，易知△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝4a，又CQ＝PA＝3a，易知CQ2＋PQ2＝PC2，∴△PQC是直角三角形