二次函数中条件最值2013

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1、二次函数中的条件最值内容简概：二次函数的最值在实际应用中常常与自变量的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．如果对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形；若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）.如果对称轴、取值范围不能确定，可以分为三种情形；（1）取值范围确定，但对称轴不确定（2）对称轴确定但取值范围不能确

2、定（3）对称轴和取值范围都不能确定关键词：二次函数、条件最值、取值范围、对称轴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，二次函数的最值是近年中考的一个热点．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况为：当a＞0时，函数在x=－处取得最小值，无最大值；当a＜0时，函数在x=－处取得最大值，无最小值．而二次函数的最值在实际应用中常常与自变量x的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形，下面就不同

3、类型举例说明。一．对称轴在取值范围内【例1】当－2≤x≤2,时，求函数y=x2－2x－3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=－2时，y最大值=5．【例2】当1≤x≤2时，求函数y=－x2－x+1的最大值和最小值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=2时，y最大值=5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定

4、范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．可以归纳为：若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。二．对称轴不在取值范围内【例3】：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。求平均每天销售量y（箱

5、）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？分析：此题求最值问题用的不是顶点坐标，而是利用的是增减性。解：①y=90－3(x－50)=－3x+240(50≤x≤55)②w=(x－40)(－3x+240)=－3x2+360x－9600(50≤x≤55)③w=－3x2+360x－9600∵a<0∴抛物线开口向下，又∵50≤x≤55,且对称轴为x=60，∴y随x的增大而增

6、大∴当x=55时，w有最大值是1125元。归纳：对称轴不在取值范围内，两个端点都是最值点（若开口向上，离对称较近的端点为最小值点，离对称轴较远的端点为最大值，若开口向下，离对称较远的端点为最小值点，离对称轴较近的端点为最大值）下面就二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一般情况在m≤x≤n上的最值进行归纳．当a＞0时，①－＜m时，y最小值=am2+bm+c,y最大值=an2+bn+c②m≤－≤n时，y最小值=若≤－，y最大值=am2+bm+c,若≥－，y最大值=an2+bn+c③－＞n时，y最小

7、值=an2+bn+c，y最大值=am2+bm+c当a＜0时，①－＜m时，y最大值=am2+bm+c,y最小值=an2+bn+c②m≤－≤n时，y最大值=若≤－，y最小值=am2+bm+c，若≥－，y最小值=an2+bn+c③－＞n时，y最大值=an2+bn+c，y最小值=am2+bm+c三．二次函数最值问题的拓展（1）对称轴和取值范围都确定【例4】当x≥0时，求函数y=－x(2－x)的取值范围．解：y=－x(2－x)=x2－2x因为a=1＞0，所以图象开口向上，对称轴为x=1在取值范围内,则当x=

8、1时，y有最小值，y最大值=－1，当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，．当x＞1，y随x的增大而增大，所以y无最大值．所以，当x≥0时，函数y的取值范围是y≥－1．（2）取值范围确定，但对称轴不确定【例5】已知二次函数y=－9x2－6ax－a2+2a(≤x≤)有最大值－3，求实数a的值．【解析】函数y=－9x2－6ax－a2+2a的对称轴为x=a．该函数开口向下，分以下情况进行讨论：若a≤即a≥1，则该二次函数在≤x≤这个范围上y随x的增大而减小，当x=时有最大值，故－a2+4a－