3、时取最大值，221&x2+r+2x的最小值为一一V2,当且仅当x=-—fy=0时取最小值.22点评：本例同上题一样,也通过消元，把二元二次函数最值问题转化为我们熟知的一元二次函数最值问题.值得注意的是自变量的取值范围.二、三角代换法例3.已知兀？+丿2二］,求x+2y的最值.解：因为x2+y2=l,所以可设x=cos&,y=sin&,则x+2y=cos&+2sin&-产cos&)V5J^sin(&+0)(其屮cos。).因为一厉W厉sin(&+0)/5,当2半尸-芈时,x+
4、2y収最小值-亦，当x=—fy=日寸，兀+2y取最大值亦.点评：本例题目条件是变量的平方和关系式，自然想到将变量三角代换，通过三角代换，将两个变量的函数最值问题转化为一个变量的三角函数最值问题，从而使问题变得简单.例4.已知亍+斗=1,求3x+4y的最值解:因为才+牛（尹+（詡",=sin&,X所以可设-=cos^2即x=2cos&,y=V3sin.则3x+4y=6cos&+4j^sin&=2sin&+gcos&)V7sin°=书).2=2丁21sin(&+(p)(A-111cos(p=,因为-2V21<
5、2^21sin(&+°)S2V21,所以一2>/2i<3x+4y<2y/2i,当x=—^^~,y=_2^L时，^x+4y取最小值-2殛,当x=^~,y=时，3x+4y取最大值2履.点评：本例是椭圆型三角代换，一般地，若｛+与=1,可设X=QCOS&,cr/ry=Z?sin&,&为参数.例5.若兀,y为实数,且x2+2V3xy-/=3,试求x2+/的最小值.解设%=rcos^,^=rsin^,并规定05&52龙，代入已知等式可化为r2(cos2&+希sin20)=3,2r2sin(2O+f)=3,故r2>-
6、.2因此x2+y2的最小值是手点评：本例根据待求函数的结构特征，选择此类型的三角代换，大大减少了运算量.223例6.己知兀，y,z>0,且xyz+x+z-y=0,求；+的最大兀-+1+1z+1值.解由已知条件得x+z=(-xz)y.Y+7显然，-50,所以尸氏rh此联想到正切和角公式，于是令a=arctanx,/3=arctany,y=arctanz,a,f3./g(0,—)则30=3处37=伽(0+力・1-tan6rtany因为(3,a+ye(0,>r),所以0二Q+y,于是s=——亠tan^+1ta
7、n-/>+1tan-y+l=2cos26Z-2cos2(6Z+y)+3cos2y=(cos2a+1)-[cos(2a+2/)4-1]+3cos2y=2siny•sin(2a+/)+3cos2y<2siny+3(1-sin2y)岔.1、2—IO=-3(siny——)+—<—.233等号在26if+—,sinr=-,即23x=^l,y=72,z=—时成立，故欲求的最大值为巴.2*43点评：本例先对条件关系式进行变形，联想到正切和角公式，进而将各变量用正切值代换，从而问题迎刃而解.三、不等式法21例7.已知兀，
8、y>0，且x+y=l,求一+—的最小值.兀>'解：由均值不等式得弐+兰+3二2冲+3xyxy2V2+3.当一——时，即x=2_yfi,y—V2—1时，—I—取最小值2-/2+3.xyxy例8.已知x+2y+3z=l,求9x2+4y2+z2的最值.解：由柯西不等式得(x+2y+3z)，=(g・3x+l・2y+3・z)，<[(
9、)2+12+32][(3x)2+(2刃2*尹](当且仅当半=半=；取等号)391°99=y(9x2+4
