为了估计池塘里有多少条鱼而产生分歧

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1、来稿日期：2009年6月12日所投栏目：解题研究作者：谷兴武联系方式：单位：湖北省襄樊市樊城区牛首镇竹条一中通信地址：湖北省襄樊市樊城区牛首镇竹条一中联系电话：13197178910E－mail：gxw5555@hotmail.com声明：同意编辑修改，本稿仅投给你刊签名：谷兴武日期：2009年6月12日为了估计池塘里有多少条鱼而产生的分歧谷兴武湖北省襄樊市樊城区牛首镇竹条一中邮编：441135人教版八年级数学下册《教师教学用书》第二十章《数据的分析》的最后几页有一套章节检测题，其中有这样一道题目：一养鱼专业户为了估计池塘里有多少条鱼，先捕上100条做上标

2、记，然后放回湖里，过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞了五次，记录如下：第一次捕上90条鱼，其中带标记的鱼有11条；第二次捕上100条鱼，其中带标记的鱼有9条；第三次捕上120条鱼，其中带标记的鱼有12条；第四次捕上100条鱼，其中带标记的鱼有9条；第五次捕上80条鱼，其中带标记的鱼有8条。问池塘里大约有多少条鱼?学生及老师在解答此题的过程中产生了较大的分歧：方法一：解：由题意可得：池塘里大约有鱼：方法二：解：由题意可得：池塘里大约有鱼：方法三：解：由题意可得：池塘里大约有鱼：可以看出，三种方法都能估计出池塘大约有1000条鱼左右。但是三种解法

3、所得的结果毕竟还是不一样，究竟哪一种解法更接近真实值呢？大多数师生比较支持第一种方法，笔者也赞成第一种解法。可是很多师生不清楚：为什么第一种方法正确，而后两种方法存在一定的问题呢？有些教师在遇到这个问题时，没有去深究，而是让学生死记住第一种方法。笔者认为，此题意在于考查用样本估计总体的思想方法，同时旨在培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。以上三种方法都能很好的应用样本估计总体，只是在估计方法上存在误差大小的区别。第一种方法采用了首先算出被捞鱼中的带标记的鱼的数量占五次捞的鱼的总数的百分数。理解如下：五次捞的鱼的总数为：90+100+120+100+80

4、=490条其中带标记的鱼数为：11+9+12+9+8=49条为什么以上捕捞五次的鱼和其中带标记的鱼数要加起来呢？我们可以假设该养鱼专业户用的拖网较小，一网只能捞100条左右，他捕捞了五次，我们把捕捞五次的鱼加起来，起到了增大样本容量的作用，能够大大地减小用样本估计总体过程中所产生的误差。就相当于：他用一个较大的拖网，一次捕捞了490条鱼，其中带标记的鱼数为49条。我们知道，样本容量越大，用样本估计的总体更接近真实值，误差就越小。根据以上捕捞五次的鱼和其中带标记的鱼数分别加起来而得到的两个数据可以算出：平均每捞100条鱼就有10条是带标记的。而池塘中一共有带

5、标记的鱼100条，那么池塘里的鱼的总数就应是大约1000条。第二种方法采用了首先算出五次记录中每一次被捞鱼中的带标记的鱼数量占每一次捕捞的鱼数的比例，分别为：，，，，，然后求这五个比例的平均数。由于这五个比例都约为，所以它们的平均值也约为。最终估计的池塘里的鱼的总数大约1000条少点（996条）。但是在这个操作过程中存在着较大的误差：因为这五次记录中每一次的样本容量较小，所以由每一次的标记的鱼占每一次捕捞的鱼数所得的比值误差较大，把这五个比例相加求得的平均数虽然在一定程度上减小了误差，但与第一种方法相比，第二种方法在样本估计总体的过程中仍然存在较大的误差。

6、第三种方法也是采用了首先算出五次记录中每一次被捞鱼中的带标记的鱼数量占每一次捕捞的鱼数的比例，分别为：，，，，，然后把每一次捕捞的鱼数作为一个样本，用每一次标记的鱼占每一次的捕捞的鱼数的比例，分别估算出池塘里有多少条鱼的五个估计值，依次分别约为：，，，，，最后再求出这五个数据(818条、1111条、1000条、1111条、1000条)的平均数作为最终估计出池塘里的鱼的总数，大约是1000条多一点（1008条）。然而第三种方法相对于第二种方法而言，误差较大。原因是：把每一次捕捞的鱼作为样本，由于样本容量较小，所以由每一次的标记的鱼占每一次捕捞的鱼数所得的比例

7、误差较大，而再用这五个误差较大的比值分别去估算池塘里的鱼的总数，使得误差进一步变大，虽然后来又求取了这五个估算的池塘里的鱼的总数的平均值，误差相对有所减小，然而这种在误差被放大的数据的基础上再减小误差的方法，明显比前两种方法误差大一些。总之，在教与学的过程中，不管是教师，还是学生，当遇到疑难问题时，不应该轻易地放弃，而是要迎难而上，尽可能地把问题的来龙去脉搞清楚。联系电话：0710-2192345（家），0710-2191962（办）手机：13197178910电子信箱：gxw5555@hotmail.com，学校：湖北省襄樊市樊城区牛首镇竹条一中个人简介

8、：男，37岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。