《直线与圆》常见考点及题型分析

《直线与圆》常见考点及题型分析

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1、《直线与圆》常见考点及题型分析陕西省麟游县中学(721599)韩红军1.热点透析解析几何涉及直线与圆和圆锥曲线两部分内容,是衔接初等数学和高等数学的纽带,是运用“数”研究“形”。(1)近几年高考的热点:第一部分是直线的方程。需要掌握直线的倾斜角和斜率,直线方程的几种形式(如点斜式、两点式和一般式等),两直线位置关系(平行、垂直)的判定和应用。第二部分是圆的方程。需要掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程,与圆有关的最值问题、弦长问题、轨迹问题等。第三部分是直线和圆、圆与圆的位置关系。需要掌握直线与圆、圆与圆的位置关系中基本量的

2、计算。(2)近几年常考的题型:主要是一道选择题或填空题,单独出解答题的概率不大,然而有可能作为解答题的背景或渗透在解答题的第(1)问中。2.热点题型分类精讲题型一:求直线的倾斜角或斜率例1.(2014,安徽)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:易知直线l的斜率存在,所以可设l:y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.因为直线l圆x2+y2=1有公共点,所以圆心(0,0)到直线l的距离≤1,即k2-k≤0,解得0≤k≤,故直线l的倾斜角的取值范围是

3、.故选D.评注:直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念,应熟练地掌握这两个概念,扎实地记住计算公式,倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.题型二:求直线的方程例2.(2014,福建)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  )A.x+y-2=0B.x-y=2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析:由直线l与直线x+y+1=0垂直,可设直线l的方程为x-y+m=0.又直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则m=3,所以直线l的方程为x-y+3=0,故选D.评

4、注:若已知直线过定点,一般考虑点斜式;若已知直线过两点,一般考虑两点式;若已知直线与两坐标轴相交,一般考虑截距式;若已知一条非具体的直线,一般考虑一般式.题型三:求圆的方程例3.(2014,陕西)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.解析:由圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,得圆C的圆心为(0,1).又因为圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.例4.(2014,山东)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为

5、2,则圆C的标准方程为________.解析:因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b,b).又圆C与y轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径是2b.由勾股定理可得b2+()2=4b2,解得b=±1.又因为b>0,所以b=1,所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径是2,所以圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=4.评注:求圆的方程的两种方法:good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewirin

6、giscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first(1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.题型四:直线与圆的位置关系例5.(2014,江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)

7、2=4截得的弦长为________.解析:由题意可得,圆心为(2,-1),r=2,圆心到直线的距离d==,所以弦长为2=2=.例6.(2014,浙江)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是(  )A.-2B.-4C.-6D.-8解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为=.由22+()2=2-a,得a=-4,故选B.例7.(2014,湖北)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1

8、分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.解析:依题意得,圆心O到两直线l1:y=x+a,l2:y=x+b的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即==1×sin45°,得

9、a

10、=

11、b

12、=1.故a2+b2=2.例8.(2014,全国)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1

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