直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳.doc

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1、直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交二、直线与圆的位置关系判断1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：则直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：则直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.三、两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：则两圆相交；两圆外切；

2、两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）四、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为.（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值.若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1直线与圆的相交关系思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、

3、弦心距和半径之间形成的数量关系.例9.28已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则=___________.分析先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析因为圆心到直线的距离为1，又因为圆的半径为，故圆上有4个点符合条件.评注若圆上到直线的距离等于2的点的个数为，则；若，则圆上到直线的距离等于变式1已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数有两个，则的取值范围___________.例9.29已知圆：，直线：，（1）当直线与圆相交时，求实数的取值范围;（2）当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.分析根据点到直线距离等于半径来度量直

4、线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题.解析（1）圆：，故圆心为，因为直线与圆相交，所以圆心为到直线的距离，解得，故实数的取值范围是（2）由题意，直线与圆相交于两点，且，故有，化简可得，即或，故所求直线的方程为或.评注在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A．相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心变式2过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为__________.变式3已知直线经过点且与圆相交，截得弦长为，求直线的方程.例9.30

5、过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A.B.4C.D.5解析设圆心到直线的距离，由弦长公式可知当距离最大时，弦长最小.又，当直线时取等号，故.所以.故选B评注过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦.变式1过点做圆的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B.17条C.32条D.34条例9.31已知圆的方程为.设该圆过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（）A.B.C.D.解析可化为，故圆心坐标，半径为5，点在圆内，因为最长，所以为直径，即，最短，且过点，所以，所以，故选B变式1如图所示，已知,为圆O：的两

6、条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为__________.例9.32（2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆，过点的直线交圆于两点，若（为圆心），则直线的方程为__________.解析设直线，即则圆心到直线的距离为.又，故，即△是等腰三角形，.所以即，故直线：或变式1已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点.若，求直线的方程.变式2已知圆：上的两点关于直线:对称，且（为坐标原点），求直线的方程题型2直线与圆的相切关系思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线.例9.33求经

7、过点与圆相切的直线方程.分析将点代入圆方程得，知点是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为，则所求直线方程为，整理成一般式为.由圆的切线的性质，可得，化简得，解得或.故所求切线方程为：或.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为（是切点），将坐标代入后得，由，解得或.故所求切线方程为：或.评注已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意

8、斜率不存在的情况.变式1已知圆，求过点的圆的切线方程.变式2直线与