三次函数及四次函数

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1、2.13三次函数与四次函数一、学习目标三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。近年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。近年高考有多个省份出现了四次函数高考题，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。二、知识要点：第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况三次函数图

2、象说明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在+∞右向上伸展，-∞左向下伸展。当a＜0时，在+∞右向下伸展，-∞左向上伸展。与x轴有三个交点若,且，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点若,且，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。存在极值时即,且，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。1.根的个数三次函数导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=___________，(1)若_____________，则

3、恰有一个实根；(2)若,且_________，则恰有一个实根；(3)若,且__________，则有两个不相等的实根；(4)若,且____________，则有三个不相等的实根.说明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.2.极值情况：三次函数（a＞0）,导

4、函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，(1)若___________，则在上为增函数；(2)若____________，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.三次函数,(1)若，则在R上无极值；(2)若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。三、课前检测：1.（09安徽理）设＜b,函数的图像可能是（2．（09江西文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则=.3．（09重庆文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，

5、曲线与至多只有一个交点，则的最小值为.4．（09江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.5.（09福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.四．典型例题;例1.讨论关于x的方程根的个数.例2：设为实数，函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．例3.已知是函数的一个极值点。⑴求；⑵求函数的单调区间；⑶若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。第二部分：在四次函数中的应用由于四次

6、函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题例4：已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象与x轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决例5：已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次函数

7、问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。五当堂检测1（09北京文）（本小题共14分）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.2（09江西文）（本小题满分12分）设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．3.（09全国理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：4.(

8、09浙江理）（本题满分14分）已知函数，，其中．21世纪教育网（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．