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1、-三次函数专题一、定义：定义1、形如yax3bx2cxd(a0)的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数y3ax22bxc(a0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。一般地，当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上是单调函数；当b23ac0时，三次函数yax3bx2cxd(a0)在R上有三个单调区间。（根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论）2、对称中
2、心。三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点(b,f(b))，此点3a3a的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。（1）当△=4212ac0时，由于不等式f(x)0恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个b实根。------1---（2）当△=4b212ac0时，由于方程f(x)0有两个
3、不同的实根x1,x2，不妨设x1x2，可知，(x1,f(x1))为函数的极大值点，(x2,f(x2))为极小值点，且函数yf(x)在(,x1)和(x2,)上单调递增，在x1,x2上单调递减。此时：①若f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若f(x1)f(x2)0，即f(x1)与f(x2)中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x
4、)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：fmaxxfm,fx0,fn；。三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）32+3x+1。（全国Ⅱ卷文21）已知函数f（x）=x-3ax（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例2、已知函数f(x)满足fxx3f2x2xC22'（其
5、中f'为f(x)在点x处的导数，C()333为常数）．（1）求函数f(x)的单调区间；---（2）若方程f(x)0有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若f10，求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积．3---2---例3、（恒成立问题）已知函数f(x)1x31x2cxd有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；32（Ⅱ）若f(x)在x2处取得极值，且当x0时，f(x)1d22d恒成立，求d的取值范围．6例4、（信息迁移题）对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)。定义：（1）f(x)的导数f(x)（也叫f(x)一阶导数）的导数f(x)为f(x)的二阶导数
6、，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数yf(x)的“拐点”；定义：（）设x0为常数，若定义在R上的函数yf(x)2对于定义域内的一切实数x，都有f(x0x)f(x0x)2f(x0)恒成立，则函数yf(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称。（1）己知f(x)x33x22x2，求函数f(x)的“拐点”A的坐标；（2）检验（1）中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;（3）对于任意的三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。例5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)
7、若,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.------3---三次函数作业1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－193、（江西卷文17）设函数f(x)6x33(a2)x22ax.（）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x21，求实数a的值；12a，使得f(x)是(,)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由
