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1、三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。3bx2cxda设点P为三次函数f(x)ax(0)图象上任一点，则过点P一定有直线与yf(x)的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明设(,)Px1y过点P的切线可以分为两类。12
/1、P为切点k1f(x)3ax2bx1c，112切线方程为：yy1(3ax2bx1c)(xx1)1P不是切点，过P点作yf(x)图象的切线，切于另一点Q（x2,y2）3322yyaxaxbxbx212121k2xxxx2121cx
2、2cx122axaxxaxbx1bx22121c/2又k2f(x)3ax2bxc（1）222222ax212axbx2caxxbxaxbxc322121b即()(2)0xxxx2a1211bxx2代入（1）式122a231b2得ckaxbx211424a22231b讨论：当k1k2时，axbx1c312bxcax1，得1424abx1，3a当bx1时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。3a当bx1时，k1k2，所以过点P有两条不同的切线。3a2其切线方程为：1(3ax2bxc)(xx)yy111y231b2y1(axbxc)(xx111424a
3、)由上可得下面结论：3bx2cxda过三次函数f(x)ax(0)上异于对称中心的任一点P1(x1,y1)作yf(x)图象的切1线，切于另一点P2(x2,y2)，过P2(x2,y2)作yf(x)图象的切线切于P3(x3,y3)，如此继续，得到点列P4(x4,y4)----Pn(xn,yn)----，则1b1，且当n时，点趋近三次函数图象的对称中心。xnxn22a证明：设过Pn(x,y)与yf(x)图象切于点Pn1(xn1,yn1)的切线为PnPn1，nnyy22n1nkaxnaxnxnaxnbxnbxn111xxn1nc/()322又kfxaxbxcn
4、1n1n1222axn1axnxnaxnbxn1bxnc=3axn12bxn1c1b即(xn1xn)(2xn1xn)0a1xnxn12b2a1设xn(x)则1n2b3ab数列{xn}是公比为3a12的等比数列，xnb3a(b1x1)()3a2n1即blimx。n3an（2）过三次函数外一点的切线问题。设点(x,)3bxcxda
P0y为三次函数()(0)
fxax图象外，则过点P一定有直线与
02yf(x)图象相切。b（1）若,x则过点P恰有一条切线；03abb（2）若,x且g(x0)g()0，则过点P恰有一条切线；0a33abb（3）若,x且g(x
5、0)g()=0，则过点P有两条不同的切线；0a33abb（4）若,x且g(x0)g()0，则过点P有三条不同的切线。0a33a/其中g(x)y0f(x)f(x)(xx).0证明设过点P作直线与yf(x)图象相切于点Q(x1,y1),2则切线方程为1(3ax2bxc)(xx),yy111把点P(x0,y)代入得：0322ax1(b3ax)x2bx0x1y0dcx00，0123baxx2bxxydcx设g(x)2ax(3)2000.0g()62(30)20/xax2baxxbx/xax2baxxbx,4(b23ax0)48abx4(3axb)002,b令
6、g()0,则./xxx,x0a3因为g(x)0恰有一个实根的充要条件是曲线yg(x)与X轴只相交一次，即yg(x)在R上为单调bbb函数或两极值同号，所以,x或x,且g(x0)g()0时，过点P恰有一条切线。003a3a3ag(x)0有两个不同实根的充要条件是曲线yg(x)与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以bbx,且g(x0)g()=0时，过点P有两条不同的切线。0a33ag(x)0有三个不同实根的充要条件是曲线yg(x)与X轴有三个公共点，即yg(x)有一个极大值，bb一个极小值，且两极值异号。所以,x且g(x0)g()0时，过点P有三条不同
7、的切线。0a33a例题讲解：例1、已知函数3yxx，求过点A1,0的切线方程。例2、（2010湖北文数）设函数处的切线方程为y=11a32（fx）=xxbxc，其中a＞0，曲线y（fx）在点P（0，（f0））32（Ⅰ）确定b、c的值。（Ⅱ）设曲线y（fx）在点（x，（fx））及（x2，（fx2））处的切线都过点（0,2）证明：当x1x2时，11f'(x)f'(x)12（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y（fx）的三条不同切线，求a的取值范围。例3、已知函数132f(x)xaxbx,且f'(1)03(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；（2
8、）令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2)
