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《用《几何画板》实现三次函数的切线的条数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学2760001引言过平面内任意一点P作一个三次函数图彖的切线，可能有一条，二条或三条.可是，当点P落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数g(x)=ax3+hx2+cr+d(aH0)都是中心对称曲线，其对称中心为(-#，&(-#))，所以其函数解析式可化为：3a3a(bz戾、/b、(b、y=a^+(c--)(x+-)+g(--)于是通过变换：bX—X93a,(b(*)y=y-g(-—)9<3am=a
2、,b2n=c•3ci就可以把问题转化为研究最简单的三次函数/(对=肌「+处(加工0)的切线问题了.设点MOo，%)为平血上任一点，过点M作函数/(x)=mx3+tvc的切线，设切点樂标为(西』),则切线方程为：°y-yx=(3mx「+肪(兀_若).把点M(xo,>Jo)的坐标代入上式，并整理得关于西的方程：2mX]一3nvc{)x^+%-'%)=0・于是，过点M有几条切线，就等价于这个关于西的三次方程有几个不同的零点.设h{x)=-3mxox2+%一(加工0),则由hf(x)=6nvc2-6nvc()x=6nix(x-x())=0,得到x=
3、0,x=xo.当兀=0时,h(x)=2mx3+yQ(m^0)在R上是单调函数,/?(x)只有一个零点，这时过点M只有一条切线.特别的，当点M(0,0)为/(兀)=机丘+心的对称中心时，其切线方程为y=nx.当兀()工0时，力(x)有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是力(0)=%一S‘Kxq)=yQ-mxj-nxQ.h(x)的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若力(0)与/?(x())同号，即/?(O)-/z(xo)>0时〃(兀)只有一个零点，这时过点M只有一条切线；若加0)与加兀°)中有且只有一个为0,即加0)•心)=0
4、时方(兀)有两个零点,这时过点M有两条切线；若加0)与处G异号,即力(0)•心)<0时,%(兀)有三个零点,这时过点M有三条切线.3规律及图解：注意到当/?(0)=y0-tvc(}=0时,点M恰在过对称中心的切线y=力上；当力(不)=%—m*-n^=Q时，点M恰在函数fx)=mx34-nx的图像上.如果把函数f(x)=fnx3的图像想象成一条直线的话，那么y=nx与/(x)=mx3+/xr的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分(如图1)：一个交点(三次函数的对称中心)，四条射线，四个两两对顶的区域.通过以上的研究，我们不仅很容易知
5、道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《儿何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M为/(x)=twc'+ivc的对称中心(0,0)时，过点M有且只有一条切线y=A?x(如图2)；当点M落在两个对顶区域且满足（％-71¥（））（%）-肌¥（:-啟（））>0时，过点M有且只有一条切线（如图3和图4）；当点落M在四条射线上（不含对称中心）即满足（％-nx0）（y0-inxj一农（））=0时过点M有且只有两条切线（如图5和图6）；/
6、（人山伙0）（丫03%3山伙0）=0.00当点M落在两个对顶区域且满足（yQ-ztr0）（^0-fnx^-n
7、x^<0时，过点M有且只有三条切线（如图7和图8）；4应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以利用这一规律轻松解题呢!例1已知曲线C：/(x)=x3-x+2,试问：分别过点(1)(0,-54),(2)(2,0),(3)(罟,2)作曲线C的切线有儿条？解：这里a=l,b=0,c=—l,d=2,=0,/(—)=2,m=1,/?=c=—1,3a3a3a所以通过变换(*)BPy=y~2,可以把原函数转化为y=x3-x,三个点分别转化为tn=1,n=-.(0,一56),(2,一2),(罟,0).(1)(y0
8、-nr())(y0-inxj-)=3136>0,・•・过点(0,-56)作y=丘一兀的切线只有一条；(2)(y0-/zx0)(y0一叫彳一吒)=0,・•・过点(2,-2)作y=x3-x的切线有两条;(%—处())(％_码)316、2—=—°1117<0,16Q・•・过点(亓,0)作y=W一兀的切线有三条于是原问题获解.例2(2008南昌一模)已知/(x)=x3-3x,点A(l,d)(dH-2)可作曲线丿=/(x)的三条切线，则Q的取值范围是()A.(l,・1)B.(-2,3)C.(-1,-2)D.(・3,-2)解：这里的m=},n=-3fx
9、0=1,y0=6?,所以当[a_(_3)・l][a_F+3xl]v0即-3
