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1、2008年第3期数学通讯11过一点作三次函数图像切线条数的完备结论贺斌(谷城县第三中学,湖北441700)中图分类号:O123.3文献标识码:A文章编号:0488-7395(2008)03-0011-02文[1]回答了过哪些点可以作三次函数A(t,f(t))为三次函数y=f(x)图像C上图像的三条切线.受文[1]启发,一个自然的的一点,则点A处的切线方程为y-f(t)=问题是:过哪些点可以作三次函数y图像的f′(t)(x-t).于是,切线过点M,等价于存一条切线、两条切线?本文在文[1]的基础上在实数t,使给出过一点所作三次函数图
2、像切线条数的完备结论.[2],[3]32引理三次函数f(x)=ax+bxb+cx+d(a≠0)的图像C上的点N(-,3abf(-))是C的唯一对称中心.3a图1三次函数图2三次函数定理设三次函数图像C在其对称中y0-f(t)=f′(t)(x0-t)(1)心N处的切线为l,M是三次函数图像C所注意到(1)是关于t的三次方程(易知在平面上的一点,则3t的系数不为0),故过点M最多可作图像(Ⅰ)过点M能且仅能作C的一条切C的三条切线.线,当且仅当点M位于C和l所夹的上、下记g(t)=y0-f(t)-f′(t)·(x0-t),两个区域内(
3、边界除外),或点M与点N重则合;g′(t)=-f′(t)-f″(t)(x0-t)+f′(t)(Ⅱ)过点M能且仅能作C的两条切=(t-x0)f″(t)线,当且仅当点M位于图像C或切线l上=2(t-x0)(3at+b).(点N除外);b2(Ⅲ)过点M能且仅能作C的三条切若x0=-,则g′(t)=6a(t-x0),3a线,当且仅当点M位于C和l所夹的左、右g(t)为R上的单调函数,方程g(t)=0有且两个区域内(边界除外).b仅有一个实数根.即过直线x=-上的任为方便读者形象直观的理解,我们根据3a三次函数首项系数的正(如图1)负(如图
4、2)一点能且仅能作y=f(x)图像的一条切线.画出相应的示意图如右.若x0≠-b,则g′(t)在点x0附近的3a32证设三次函数为f(x)=ax+bx+b函数值异号,在点-附近的函数值也异cx+d(a≠0),点M的坐标为(x0,y0),点3a收稿日期:2007-10-25作者简介:贺斌(1961—),男,湖北随州人,湖北省谷城县第三中学高级教师.12数学通讯2008第3期b2)方程g(t)=0有且仅有两个相异实号,故x0和-都是g(t)的极值点.于是结3ab合函数g(t)的单调性知:数根,当且仅当g(x0)=0,或g(-3a)=0
5、1)方程g(t)=0有且仅有一个实数根,b(如图5,6),即y0=f(x0),或y0-f(-)当且仅当函数g(t)的极大值<0(如图3,仅3abb画出了g(t)首项系数大于0的情况,后同)=f′(-)(x0+).亦即当且仅当点M3a3a或极小值>0(如图4).位于y=f(x)的图像上,或点M位于过三次bb函数对称中心N(-,f(-))处的切线3a3al上(点N除外)时,可作y=f(x)的两条切线.图3三次函数图4三次函数g(x0)<0,g(x0)>0,即b或bg(-)<0,g(-)>0.3a3ab图5三次函数图6三次函数亦即g(x
6、0)·g(-)>0(x0≠3a3)方程g(t)=0有三个相异的实数根,b-).当且仅当3abbx0≠-,x0≠-,3a3abb)(2)g(x0)·g(-)<0,即[y0-f(x0)]·[y0-f(-3a3abbbx0≠-,-f′(-)(x0+)]>03a3a3a由引理知,三次函数y=f(x)的图像有即[y0-f(x0)]·[y0-f(-b)3abb唯一对称中心N(-,f(-)).而C在bb3a3a-f′(-)(x0+)]<0.3a3a点N处的切线l的方程为通过与1)类似的分析(或参见文[1])bbby-f(-)=f′(-)(x+)
7、.知:满足上述不等式组的点M(x0,y0)位于3a3a3a故直线x=x0与C及l的交点纵坐标C和l所夹的左、右两个区域内(边界除外).综上,定理获证.分别为bbbf(x0),f(-)+f′(-)(x0+).3a3a3a参考文献:b[1]贺斌,黄福.过哪些点可以作三次函数图像的由于x0≠-,故上述两纵坐标不相3a三条切线.数学通讯,2007(21).等.注意到不等式组(2)的第二式为关于y0[2]管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯,2的一元二次不等式,并且y0项的系数为正,2004(15).故满足上述不等式组的点M(x0,y0)
8、位于C[3]刘国杰.三次函数图像对称性的探索.数学通和l所夹的上、下两个区域内(边界除外).讯,2006(20).
