三次函数与四次函数的认知及其应用.doc

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1、三次函数与四次函数的认知及其应用俗话说：时势造英雄.同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位.“何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势.注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助.一、三次函数的图象与极值设.则令方程，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途

2、径去认知三次函数的图象与性质.特殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值.(1)（方程的判别式情形）；(2)（方程的判别式情形）；(3)（方程的判别式情形）.品悟上述函数的共性：(I)它们的图象呈“N”字形（时的常态情形更为形象）；(II)一次方程有实根并且在点两侧的符号相反.由此猜想“一般”，从而认知1、三次函数的图象(1)当三次项系数时，三次函数的图象呈“N”字形；当三次项系数时，三次函数的图象呈“倒N”字形.(2)令方程=0的实根为则点8为三次函数的对称中心与拐点.（证明从略）.2、三次函数的极值(1)三次函数极值的存在性对于二次方程的判别式(

3、i)有极大值与极小值.令方程的两个实根为，则当时，函数图象左“峰”右“谷”：；当时，函数图象左“谷”右“峰”：.(ii)无极值.其中，当在R上单调递增；当在R上单调递减.(2)三次函数的极值与相应三次方程的实根(i)三次方程有一个实根与两个虚根.(ii)三次方程有二相等实根.此时，三次方程有二相等实根.(iii)三次函数有一个实根与两个共轮虚根或单调且.范例：1、(07·津).设函数.(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数的极值；(3)当a>3时，证明：存在使得不等式对任意恒成立.分析：幸会三次函数问题，关于三次函数的认知

4、立即浮上脑海：图象已然在胸，只待展示过程.在这里，这一特殊的三次函数的图象为常态“倒N”字形，经过原点，并且在点a处与x轴相切.当a>0时，8其图象形如于是，的单调性及其极值系列一片清明.解：(1)当a=1时，∴∴∴曲线在点处的切线方程为即(2)当令以下为比较的大小而讨论.(i)若的变化情况如下表：－0＋0－↘↗↘∴时取得极小值；当时取得极大值(ii)若同理可得的极小值的极大值(3)证：注意到8令，则当①又由(1)知当上递减，∴欲使不等式成立，只要对任意成立只要恒成立②又令则②等价于③而且∴由③得由此解得④注意到这里于是由④得.因此可知，在区间[-1

5、，0]上存在，使得对任意恒成立.点评：对于(3)，为利用的单调性“脱去”所给不等式中的函数符号“f”，往往循着“从内向外”的顺序走向深入：首先了解内层函数的取值范围，再而锁定所要“立足”的单调区间，进而利用在相应区间上的单调性脱去“f”.于是，化生为熟或化繁为简的意图得以实现.2、（08·徽）已知函数(1)已知函数；(2)已知不等式成立，求实数x的取值范围.解：(1)由题设得∴.(2)由题设知成立成立.成立（分离参数）①8令则由①得成立②∴由②得“下确界”)③∴所求实数x的取值范围为[-2，0].点评：当年李清照感慨：“一种相思，两处闲愁”.今日面对

6、②中的不等式，亦有类似的感悟：“一个式子，两方转化”：…恒成立的最大值（或的“上确界”）；亦有…恒成立的最小值（或的“下确界”）.二、四次函数的图象与极值设四次函数则借鉴研究三次函数的经验，循着“特殊→一般”的途径，不难发现四次函数图象的特征.1、四次函数的图象(1)宏观形状当四次项系数a>0时，若有三个相异实根（即），则的图象呈“W”字形；若有等根或虚根（即），则的图象呈“∪”字形；当四次项系数a<0时，若有三个相异实根（即），则的图象呈“倒W”字形；若有等根或虚根（即），则的图象呈“倒∪”字形.(2)“对称”认知当时，令的两个实根分别为，则由韦达

7、定理得8.此时，若则成立，从而的拐点关于直线对称，的图象亦关于直线对称.2、四次函数的极值与相应四次方程的实根(1)若三次方程有相异的三个实根则当四次项系数a>0时，有一个极大值，两个极小值、.(2)若三次方程有等根或虚根则当四次项系数a>0时，仅有一个极小值；当四次项系数a<0时，仅有一个极大值.(3)设四次函数的极小值为（或极大值为），则四次方程的实根情况，一般是立足于(1)、(2)关于四次函数的极值情况的认知，通过考察的图象与直线或的交点情况获知结果.范例：设函数(1)当的单调性；(2)若函数处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意上恒成立，

8、求b的取值范围.分析：由前面的认识可知，(1)中四次函数的图象为“W字形”.于是，未曾解题之时，脑海中已经呈