欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:43616623
大小:362.00 KB
页数:6页
时间:2019-10-11
《1奇函数与偶函数的性质及其应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、奇函数与偶函数的性质及其应用1奇函数的性质及其应用奇函数的性质设是奇函数.(1)若有意义,则;(2)若,则;(3)若函数有最大(小)值,则函数有最小(大)值,且函数的最大值与最小值互为相反数.证明(1)在恒等式中,令后,可得.(2)可得.(3)这里只证明结论:若函数有最大值,则函数有最小值,且函数的最大值与最小值互为相反数.设函数的定义域是D,得.因为奇函数的定义域D关于原点对称,所以,得,所以函数有最小值(为),且函数的最大值与最小值互为相反数.题1(普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a使函数
2、为奇函数?解由奇函数的性质(1),可得.还可验证:当时,,即是奇函数.所以存在实数使函数为奇函数.题2(2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个周期,若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为()A.0B.1C.3D.5解D.可证.所以由奇函数的性质(1),可得,得方程在闭区间上有根.题3若函数是常数)满足,则.解.因为函数是奇函数,所以由奇函数的性质(2),可得.又,所以.题4函数的最大值与最小值之和为_____.解0.因为可证是奇函数,再由由奇函数的性质(3),可得答案.题5函数在[-m,m](m>0)上的最大值与最小值之和
3、为_____.解2..可得是奇函数,且函数在[-m,m](m>0)上的最大值、最小值之和是0,所以函数在[-m,m](m>0)上的最大值与最小值之和为2.题6已知函数在区间上的值域为,则.解4.可证得.设,所以是奇函数,且其在区间上的值域为.由奇函数的性质(3),可得.题7若函数的最大值与最小值分别是M,m,则()A.M-m=4B.M+m=4C.M-m=2D.M+m=2解D.可得.可得是奇函数,且函数的最大值、最小值分别是.由奇函数的性质(3),可得.2偶函数的性质及其应用偶函数的性质(1)若函数是偶函数,则恒成立;(2)若偶函数f(x)在处可导,则;(3)若偶函数f(x)
4、的定义域是(可得关于原点对称),是数集的关于原点对称的两个子集,则函数f(x)在数集上的值域相同.证明(1)当且时,;当且时,.所以欲证结论成立.(2)由题设,可得所以(3)由偶函数f(x)的图象关于y轴对称,立得欲证结论成立.题8(2014年高考全国新课标卷II理科第15题)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.解(-1,3).由题设及偶函数性质(1),可得f(x-1)>0题9(2015年高考全国卷II文科第12题)设函数f(x)=ln(1+
5、x
6、)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(
7、 )A.B.C.D.解A.易知f(x)是偶函数,且当时,f(x)=ln(1+x)-是增函数(因为两个增函数之和是增函数),所以由性质1,可得f(x)>f(2x-1)题10已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]解C.由题设及偶函数性质(1),可得题11(2014年高考湖南卷文科第15题)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.解-.由题设及偶函数性质(2),可得题12(2015年高考全国卷I理科第13题)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=_____
8、___.解1.由题设及偶函数性质(2),可得题13(2015年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数的值域是.解.可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知,所求答案即函数的值域.设,得,由此可得函数是函数值为非负数的减函数.又函数也是函数值为非负数的减函数,所以函数是减函数.所以所求答案即.题14(2013年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数的值域为.解.可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知,所求答案即函数的值域.当时,函数是减函数,得此时的取值范围是.当时,可设,得此时(其中是锐角且,可得)得此时的取值范围是即也即.所以所求答案即即.题15(2013
9、年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数的最小值为.解.可得函数y是偶函数且是以为一个周期的正确函数,所以只需求函数y在上的最小值.由偶函数性质(3)知,只需求函数y在上的最小值.当时,.设,得,所以进而可得所求答案为.
此文档下载收益归作者所有