1奇函数与偶函数的性质及其应用

《1奇函数与偶函数的性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、奇函数与偶函数的性质及其应用1奇函数的性质及其应用奇函数的性质设是奇函数.(1)若有意义，则；(2)若，则；(3)若函数有最大(小)值，则函数有最小(大)值，且函数的最大值与最小值互为相反数.证明(1)在恒等式中，令后，可得.(2)可得.(3)这里只证明结论：若函数有最大值，则函数有最小值，且函数的最大值与最小值互为相反数.设函数的定义域是D，得.因为奇函数的定义域D关于原点对称，所以，得，所以函数有最小值(为)，且函数的最大值与最小值互为相反数.题1(普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a使函数

2、为奇函数？解由奇函数的性质(1)，可得.还可验证：当时，，即是奇函数.所以存在实数使函数为奇函数.题2(2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个周期，若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为()A.0B.1C.3D.5解D.可证.所以由奇函数的性质(1)，可得，得方程在闭区间上有根.题3若函数是常数)满足，则.解.因为函数是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得.又，所以.题4函数的最大值与最小值之和为_____.解0.因为可证是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.题5函数在[-m,m](m>0)上的最大值与最小值之和

3、为_____.解2..可得是奇函数，且函数在[-m,m](m>0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数在[-m,m](m>0)上的最大值与最小值之和为2.题6已知函数在区间上的值域为，则.解4.可证得.设，所以是奇函数，且其在区间上的值域为.由奇函数的性质(3)，可得.题7若函数的最大值与最小值分别是M,m，则()A.M-m=4B.M+m=4C.M-m=2D.M+m=2解D.可得.可得是奇函数，且函数的最大值、最小值分别是.由奇函数的性质(3)，可得.2偶函数的性质及其应用偶函数的性质(1)若函数是偶函数，则恒成立；(2)若偶函数f(x)在处可导，则；(3)若偶函数f(x)

4、的定义域是(可得关于原点对称)，是数集的关于原点对称的两个子集，则函数f(x)在数集上的值域相同.证明(1)当且时，；当且时，.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得所以(3)由偶函数f(x)的图象关于y轴对称，立得欲证结论成立.题8(2014年高考全国新课标卷II理科第15题)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．解(－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f(x－1)＞0题9(2015年高考全国卷II文科第12题)设函数f(x)＝ln(1＋

5、x

6、)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(

7、　　)A.B.C.D.解A.易知f(x)是偶函数，且当时，f(x)＝ln(1＋x)－是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性质1，可得f(x)>f(2x－1)题10已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]解C.由题设及偶函数性质(1)，可得题11(2014年高考湖南卷文科第15题)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．解－.由题设及偶函数性质(2)，可得题12(2015年高考全国卷I理科第13题)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝_____

8、___．解1.由题设及偶函数性质(2)，可得题13(2015年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数的值域是.解.可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数的值域.设，得，由此可得函数是函数值为非负数的减函数.又函数也是函数值为非负数的减函数，所以函数是减函数.所以所求答案即.题14(2013年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数的值域为.解.可得函数f(x)的定义域是.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数的值域.当时，函数是减函数，得此时的取值范围是.当时，可设，得此时(其中是锐角且，可得)得此时的取值范围是即也即.所以所求答案即即.题15(2013

9、年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数的最小值为.解.可得函数y是偶函数且是以为一个周期的正确函数，所以只需求函数y在上的最小值.由偶函数性质(3)知，只需求函数y在上的最小值.当时，.设，得，所以进而可得所求答案为.