奇函数偶函数.doc

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1、如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)．那么就称f(x)为奇函数．　如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数．　说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇　　(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的．为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数．用这个方法判断此函数较为方便：f(x)　(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内

2、的任何x值，当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数．　(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形．　(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证．　例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．　解设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0　　则有－x1＞－x2＞0，　　∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，　　∴f(－x1)＞f(－x2)　　又∵f

3、(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，　　∴=－f(x1)＞－f(x2)　　∴f(x1)＜f(x2)．　　∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．　　由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同．　　类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反．时，f(x)的解析式　　解∵x＜0，∴－x＞0．　　又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．偶函數f(x)=x2，偶函數的一個例子設f(x)為一實變數實值函數，則f為偶函

4、數若下列的方程對所有實數x都成立：f(x)=f(−x)幾何上，一個偶函數會對y軸對稱，亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。偶函數的例子有x、x2、x4、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函數不可能是個雙射映射。奇函數f(x)=x，奇函數的一個例子再次地，設f(x)為一個實變數實值函數，則f為奇函數若下列的方程對所有實數x都成立：f(x)=−f(−x)或f(−x)=−f(x)幾何上，一個奇函數對原點對稱，亦即其圖在繞原點做180度旋轉後不會改變。奇函數的例子有x、x3、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。