奇偶函数的性质及其应用

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1、奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1)若函数f(X)是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：3•定义域关于原点对称，即:若定义域为［a,b］,则a+b二0;b・对于定义域内任意x都有f(-x)二-f(x)；c.图像关于原点(0,0)对称；d.若OGd贝Ijf(0)=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有和同的单调性。2)若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为［a,b］,则a+b=O;b.对于定义域内任意x都有f(-x)=f(x)=f(

2、x

3、)；c.

4、图像关于y轴对称；d・偶函数在关于原点对称的区间具有和反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1已知f(X)二a‘x2+bx是定义在［a-1,2a］的偶函数，那么a+b的值为解:Vf(x)是定义在［a-l,2a］的偶函数，・"二0a~l+2a-09解得b=0,a=故a+b二.点评：对于多项式型的函数f(x)二alxn+a2xnT+・・・+an,若f(x)为奇函数，则应只保留X的奇次项，若为偶函数则应只保留X的偶次项•故b二0,又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-14-2a=0・例2已

5、知函数f(x)二是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：Tf(x)是定义在r上的奇函数・・・f(x)二0,即:二0,a=l解法二：・.・f(x)是定义r在的奇函数/.f(-x)=-f(x)BP：二-整理得(2a-2)(2x+l)二0・•・2a-2=0解之得a=l点评：对于奇函数f(x),若OGf(0)定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f(0)二0,若0?埸定义域，再考虑f(-x)=-f(x),利用恒等式求解。热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x$0时，f(x)

6、=x(1+x)求出函数的解析式。解：当X0•.•当x20时，f(x)二x(1+x).•.f(-X)二一X(1-X)Vf(x)是r上的奇函数.•.f(x)二一f(-X)二X(1-x)Af(x)=x(1+x),(x$0)x(1-x),(x(2)综合(1)(2)得5W2点评：对于偶函数有f(-x)二f(x)二f(

7、x

8、),可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。热点题型四：利用奇偶函数图像解题例5已知f(x)是定义在r的偶函数且f(2)=0,在区间［0,+°°)递增，求f(x)的解集・分析：做出符合条件的

9、一种图形，偶函数的图像关于y轴对称.如：点评：奇偶函数具有对称性，因此作图吋，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题例6已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x-4)二-f(x),且在区间［0,2］上是增函数，则()a.f(-25)

10、x)=-f(x)•/f(x-4)二-f(x)f(x-4)=f(x).•.的图像关于直线x=2对称又f(x)的图像关于点(0,0)对称・・.f(x)是周期函数且最小正周期t二4(2-0)二8f(-25)二f(-1),f(80)二f(0),f(11)二f(3)二f(1)•・・f(x)在［0,2］是增函数・・・f(x)在［-2,0］上是增函数・・・f(-1)

11、应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1)若函数f(X)关于直线X二3,x=b对称，则f(x)为周期函数，且最小正周期t=2b-a.2)若函数f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)为周期函数，且最小正周期t=2b-a.2)若函数f(x)关于点(a,0),直线x二b对称，则f(x)为周期函数，且最小正周期tMb-a・