函数奇偶性的性质及其应用

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1、函数奇偶性的性质及其应用蒋明权邓海如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)叫做奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)叫做偶函数。其判定的法则是：（1）看关系式是否出现（此为奇函数）或（此为偶函数），（2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。显然，法则（1），（2）与法则（3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数；如果函数f(x)满足了法则（1），（2）或者满足法则（3），则可判定它的奇偶性。因此

2、，就奇偶性而言函数可以分为四类：①奇函数；②偶函数；③既是奇函数又是偶函数；④非奇非偶函数。设f(x)是奇函数，如果当x>0时，，则（证明从略，类似情况略）。设f(x)是奇函数，如果当x>0时，f(x)是增函数，则当x<0时，f(x)仍然是增函数（证明从略，类似情况略）。一.判断函数的奇偶性例1.判定函数的奇偶性。解：函数的定义域满足，即为，函数的图象表示两个点：（-1，0），（1，0）。其图象既关于原点对称，又关于y轴对称。从而函数f(x)既是奇函数又是偶函数。二.求函数的函数值例3.设（其中a,b,c为常数），且，试求f(2)的值。解：设，易证g

3、(x)是奇函数，故于是两式相加得：，即三.函数的解析式例3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，。试求此函数的解析式。解：（1）当x＝0时，，于是；（2）当x<0时，，则，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则此函数的解析式为例4.设，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，，求f(x)的表示式。解：f(x)是奇函数，有；g(x)是偶函数，有，则即两式相减得四.解不等式例5.解不等式解：设，因，则f(x)是偶函数，即f(x)的奇数次方为0，可设，以x＝1代入，得解得A＝70，即，原不等式可化为：即即因而或x>1例6.（2004年上海卷）设奇函数f(

4、x)的定义域是［-5，5］。当时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式的解是。图2五.在二项式的展开式中的应用例7.若，求的值。解：设，则f(x)是偶函数则的奇数次方的系数则六.函数的奇偶性的综合应用题例8.已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中，且（1）试求f(x)的解析式；（2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解：知函数是奇

5、函数，，则c＝0由于，所以，又，又，于是解得，又所以b＝1，a＝1所以（2）设点（x0，y0）存在关于点（1，0）对称点（，y0），此两点均在函数的图象上，则联立以上两式得，即，从而，当时，得；当时，得即存在点（），（）关于点（1，0）对称。湖南省永州市第一中学（425006）年级高中学科数学版本期数内容标题函数奇偶性的性质及其应用分类索引号G.622.475分类索引描述　　统考试题与题解主题词函数奇偶性的性质及其应用栏目名称专题辅导供稿老师审稿老师录入韩秋荣一校胡丹二校审核