函数奇偶性的性质应用.doc

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1、..函数奇偶性的应用一、　利用函数的奇偶性判断函数的单调性1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M

2、.例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．例如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)f(－2)C．f(－1)＝f(1)D．f(－2)＝f(1)解析：∵f

3、(1)－f(2)．又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点A．（a,－f(a))B．（-a,－f(a))C．（a,f(－a))D．（-a,－f(a))例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(

4、3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是(　　)A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，.下载可编辑...∴f(－2)>f(1)>f(0)．答案：B　例．已知函数f(x)在区间[－5,5]上

5、是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(－1)C．f(－1)f(－5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)

6、，故f(－3)>f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)f(1)，选项D中f(－3)0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则(　　)A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断．∵x1＋x2>0，∴x1>－x2.又∵f(x)是定义在

7、R上单调递减的奇函数，∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0.同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0.∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.答案：B例　（2009年陕西文科卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A例　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0.则当n∈N＋时，有(　　)A．

8、f(－n)0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，＋∞)为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1