奇偶函数的性质及其应用资料

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1、奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（

2、x

3、）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于

4、原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1　已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2　已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：∵f（x

5、）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3　已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。解：当x0∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）∴f（-x）=-x（1-x）

6、∵f（x）是r上的奇函数∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x（2）综合（1）（2）得

7、x

8、），可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。热点题型四：利用奇偶函数图像解题例5　已知f（x）是定义在r的偶函数且f（2）=0，在区间[0，+∞)递增，求f（x）的解集.分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于y轴对称.如：点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整

9、个定义域内的图像.热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题例6　已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（）a.f（-25）

10、f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）∵f（x）在[0,2]是增函数∴f（x）在[-2,0]上是增函数∴f（-1）

11、=2b-a.3）若函数f（x）关于点（a，0），直线x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=4b-a.