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1、三次函数的图像与性质及其在高考中的应用518107深圳市光明中学王国学三次函数y=ax3+bx2+cx+HO)是学生继二次函数后接触的新的多项式函数类型，是二次函数的深化和发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等问题。含参数的三次函数问题难易适屮，很适合于高考命题，是冃前高考尤其是文科高考的热点。本文拟对三次两数的图像与性质做一个归纳，并列举近年高考中岀现的部分三次函数问题，以供大家参考。一、f(x)=ax^bx2+cx+d(a>0)的图像和性质：(当a〈0时，同理可得相应的图像和性质，具体解题时也可转化为a>
2、0得到解决，故不再赘述。)1由极限的思想，在XT+8时，图像向上无限延仲；在兀时，图像向下无限延伸。2/(x)=0根的个数，/(尢)的单调性，极值：其导函数为二次函数：/(jc)=+2bx+c(aH0),二次函数的判别式为：△二4/?'-2ac=4(b2-3ac),若戸—3ac>0,设尸(兀)=0的两根为旺和$。则可整理给出/(%)=ax3+加2+b+〃(d>0)类似于二次函数的图像和性质表：b2-3ac>0b2-3ac<0七/[比匚謠/?r/计/图像/xx^Tya^x/WIW/XyXAX2X/N/AxAx2X
3、/1/(州)•/(兀)of(x)=O根的个数三实根两实根—实根一实根与X轴的交占二交卢两交点~*交卢-*交占八、、单调性在(-00,)和(兀2,+8)上为增函数,在(X],兀2)上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值/(西)，一个极小值f(x2)无极值二、在三次函数问题中的应用【例题1]：(2010年北京文)设定"函数f(x)=-xs+bx1+cx+d{a0),且方程fx)-9x=0的两个根分别为1,4。(I)当护3且曲线y=/(x)ii原点吋，求/
4、⑴的解析式;(II)若/(X)在(-00,+00)无极值点，求3的取值范闱。【解析】由/(x)=—x3+hx2+cx+d得fXx)=ax2+2bx+c因为ff(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以d+2b+c-9=016a+8b+c-36=0(I)略。(例2,例3同)(II)由于a>0,所以“f(x)=-x3+bx2+cx-}-d在(-«>,+8)内无极值点”等价于“/(x)=a¥2+2fer+c>0在(-OO,+OO)内恒成立”。由(*)式得2b=9-5a,c=4ao又△=(2b)2
5、-4购=9(g—1)(a-9)a〉()得^岂1,9]解彳[A=9(6Z-l)(t7-9)<0即d的取值•范围[1,9]【例题2】：(2010年全国卷II文)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+lo(I)设a=2,求f(x)的单调期间；(II)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】(2)求出函数的导数广(兀)，在(2,3)内有极值，即为广(兀)在(2,3)内有一个零点，即可根据广⑵广(3)vO,即可求出的取值范围。.9°【例题3】：(2009江西卷文)设函数/(x)=X3一一x2+
6、6x-a.2(1)对于任意实数兀，f(x)>m恒成立，求加的最大值；(2)若方程/(%)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.【解析】(2)因为当兀<1时，/U)>();当1<兀<2时，/(%)<();当兀〉2时，八兀)>();所以当x=l时，/(兀)取极大值/(l)=
7、-a；当x=2Bt,/(x)取极小值/(2)二2-°;故当/(2)>0或/(1)<0R寸，方程f(x)=0仅有一个实根.解得0<2或。〉丄.2三、在四次函数问题中的应用由于四次函数的导函数为三次函数，故四次函数的问题常转化为三次函数问题来解决。I9
8、【例题4】(2008湖南文)己知函数f(x)=—x4+x3——%2+ex有三个极值点。2(I)证明：-270,g(x)在(-oo,-3)上为增函数；当—3<尢<1吋，g'(x)vO
9、,g(x)在(一3,1)上为减函数；当兀〉1吋，g'(兀)〉0,g(x)在(l,+oo)上为增函数；所以函数g(x)在兀二-3时取极大值，在兀=1时取极小值.因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0且g(l)<0.即—27+27+27+c>0』l+3—9+cv0,解得c>-27,且c<5,故—27vcv5.(II)由(I)的证明可知，当-27
