次函数的图像及其性质

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1、26.2二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；2、了解抛物线y=ax2上下平移规律；3、熟练掌握二次函数的性质；4、应用二次函数解决实际问题。【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2、求抛物线与坐标轴的交点

2、：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【3】二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y0xy0x40性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<

3、时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，【4】二次函数中，的含义表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）【5】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程

4、的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。【5】二次函数的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；402、保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：3、平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．特别记忆--同左上加异右下减说明：①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动

5、为减右下减【6】二次函数各种形式之间的变换二次函数用配方法可化成：的形式，其中.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.【7】二次函数解析式的表示方法1、一般式：（，，为常数，）；2、顶点式：（，，为常数，）；3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.40【8】二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

6、关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．关于点对称关于点对称后，得到的解析式是【知识点填空】1、二次函数的图像：表达式顶点坐标对称轴最值图像+c40y=ax²+bx+c小知识点总结a)开口方向由a的确定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；b)开口大小由a的绝对值确定：

7、a

8、越大开口越大；c)对称轴

9、是直线x等于顶点的横坐标，最值是y等于顶点的纵坐标；d)已知图像如何判断a、b、c的符号具体规则如下：a由图像开口确定（开口向上a＞0，开口向下a＜0），c由图像与y轴的交点确定（交y正半轴c＞0，交y负半轴c＜0），b由对称轴和a共同来确定。说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系：系数的符号图像特征a的符号a>0.抛物线开口向a<0抛物线开口向b的符号b>0.抛物线对称轴在y轴的侧b=0抛物线对称轴是轴b<0抛物线对称轴在y轴的侧c的符号c>0.抛物线与y轴交于C=0抛物线与y轴交于c<0抛物线与y轴交于的符号>

10、0.抛物线与x轴有个交点=0抛物线与x轴有个交点<0抛物线与x轴有个交点【经典例题】【例1】求作函数的图象【