材料力学11 压杆稳定

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1、11压杆稳定111压杆稳定11.1压杆稳定的概念11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式11.4临界应力欧拉公式的应用范围11.5超过比例极限时压杆的临界应力临界应力总图11.6压杆的稳定校核及提高稳定性的措施211.1压杆稳定性的概念不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度，还与其稳定性有关。3理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）作用压力P

2、，给一横向干扰力，出现类似现象：（1）干扰力撤消后，直杆能回到原有的直线状态（图a）,类似凹面作用——稳定平衡；（2）干扰力撤消后，直杆不能回到原有直线状态（图c），类似凸面作用——不稳定平衡；（3）干扰力撤消后，直杆不再恢复到原来直线平衡状态，而是仍处于微弯的平衡状态（图b）——临界平衡状态，此时的压力Pcr称为压杆的临界力。11.1压杆稳定性的概念4从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。实际的受压杆件由于:其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.作用于杆上的轴

3、向压力有“偶然”偏心，3.材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。11.1压杆稳定性的概念511.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Pcr作用下在曲线状态平衡，然后设法去求挠曲函数。若：(1)求得的挠曲函数≡0，说明只有直线平衡状态；(2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。6本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.

4、Euler)公式。y(a)xlxymmOyyPcry11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式7挠曲线近似微分方程：欧拉公式—临界力为最小压力：22lEIPcrp=M(x)=PcrvxlxymmOyyOyxPcrPcr(a)(b)Fcrxyy设压杆微弯挠曲线的表达式为：，则令其通解为：式中A，B为待定常数。杆的边界条件：代入通解得：11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式8在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr：有关，(1)仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)(2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，(3)与外部轴向压力的大小无关。材料的E越大，截

5、面越粗，短，杆件越临界力Pcr越高；临界力Pcr越高，越好，稳定性承载能力越强；11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式9此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取kl＝p，压杆的挠曲线表达式可写成注意到当x=l/2时v=d，故有A=d。从而知，对应于kl＝p，亦即对应于Pcr=p2EI/l2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。11.2两端铰支中心受压直杆的欧拉公式1011.3不同约束条件下压杆的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μμ=1μ0.7μ=0.5μ=

6、2μ=1PcrABl0.7lCC—挠曲线拐点l0.5lPcrABCDC、D—挠曲线拐点Pcrl2l0.5lPcrl两端固定但可沿横向相对移动11表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；ml称为压杆的相当长度(equivalentlength)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m

7、l。11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式12运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式13例1求下列细长压杆的临界力解：图(a)图(b)图(a)3010Pl图(b)Pl(45456)等边角钢yz11.3不同约束条件下压杆的欧拉公式1411.4临界应力欧拉公式的应用范围在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工

8、作时的挠曲线近似微分方程