把《数学分析》引进《复变函数》课堂的教学法

《把《数学分析》引进《复变函数》课堂的教学法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、把《数学分析》引进《复变函数》课堂的教学法[]《复变函数》是《数学分析》的后续课程，前者的许多内容与后者既有着相同之处，又有着新的发展和不同。我们通过把《数学分析》引进《复变函数》的课堂进行教学，并积极让学生走上讲台，提高学生的参与感。　　[关键词]复变函数论数学分析知识体系比较教学法　　复变函数论，是在实函数基础上产生和发展起来的一个数学分支，是应用数学、计算数学专业的一门重要基础课，是《数学分析》的后续课程。它的许多内容与《数学分析》的知识体系既有着相同之处，同时又有着新的发展和不同。学习《复变函数》是进一步掌握分析学核心内容、提高数学专

2、业素养，培养应用数学能力的重要途径。因此，无论学习知识还是培养能力来看，《复变函数》的教学对数学专业的学生来说都十分重要。笔者从自身的教学实践出发，谈谈自己在教学中的一些做法，尤其是把《数学分析》引进课堂的教学方法。　　一、与《数学分析》的知识平行讲解，消除学生与知识的距离感　　《复变函数》的第一节课，总会有学生问道：“这门课难吗？怎么有一种神秘感？”针对这个普遍的问题，教师在上课时不仅要明确复变函数论的重要性，还要消除学生的这种神秘感，拉近学生与这门课的距离，使之产生一种亲切感。　　《复变函数》一般是大学三年级的专业课，学生已经完整地学习过

3、《数学分析》。通过对一元函数和多元函数微积分的学习，学生对微积分的核心内容已经很熟悉。如果能把微积分的知识点的学习程序引入到复变函数的课堂来，学生会有一种“亲切感”，从而更愿意学。　　我们知道，微积分的讲解是沿着：函数——极限——连续——导数——积分——级数这一条主线来进行的，其中，研究对象是实函数，且极限的概念是整个微积分学的基础，而我们整个对《复变函数》内容的讲解也是沿着这条线进行的，只是把研究对象变成复数域上的函数。　　虽然《复变函数》的知识体系与《数学分析》的相关知识有着非常密切的联系，但是有些学生对《数学分析》没有很好的掌握，反而会

4、对《复变函数》产生恐惧感，甚至逃避学习。针对这些问题，首先，在教学中应该注重本课程与前期课程《数学分析》的衔接，这既是对《数学分析》相关知识的复习，也是对本课程知识的铺垫；其次，在教学过程中应该注意到这两门课的不同之处，采用比较教学法，从而使得学生更好地掌握这两门课的异同，加深印象，便于理解和记忆。　　二、把《数学分析》的相关内容推广到复数域，引入《复变函数》的内容，激发学生的兴趣　　《复变函数》是《数学分析》在复数域上的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。因此，我们在本课程的教学上，有必要把《数学分析》的相关内容引进

5、来，让学生在复习旧知识的基础上，吸收新内容，并更新自己的分析知识。　　我们通过一个例子来说明一下。在学生复变函数的积分时，已经学习了复变函数的极限和导数（解析性）两章，这时，很多同学已经发现：《数学分析》的很多研究途径可以移植到本课程的学习中。这时，不妨让同学先回想一下一元函数积分的定义，即分割、取点、求和、取极限等步骤来建立，这是二重积分、三重积分、曲线积分的基础，再让他们回想曲线积分的定义。在回忆起旧知识的基础上，稍微修改一下，即可很自然地得到复变函数积分的定义。接下来，再平行引入积分运算的性质：线性性质、积分曲线的可加性、积分估值，这些

6、基本性质与实函数是一致的；关于复积分的计算问题，可以想到转化为曲线积分，最终通过参数方程法转化为最基本的定积分来处理，这也是很自然的一个过程。这样，我们就在复习已经学过知识的基础上，自然地完成了新的知识的学习，而且整个过程学生也在不断思考，因此不会感觉枯燥。　　三、通过比较《数学分析》与《复变函数》相关知识点的异同，加深学生对知识点的认识　　当然，有很多方面《复变函数》与《数学分析》这两门课程的知识是不同的，这时，我们就不可以盲目地让学生进行推广。　　比如，复变函数积分的牛顿-莱布尼兹公式，它与实一元函数的牛顿-莱布尼兹公式在形式和结果上完全

7、一致，但复变函数积分对函数的要求比实一元函数积分对函数的要求要高很多。对实一元函数而言，只要它在区间上连续，积分就存在，，就有牛顿-莱布尼兹公式成立。而对复变函数来说，复函数连续，积分一定存在，但牛顿-莱布尼兹公式不一定成立。事实上，被积的复函数必须在单连通区域内处处解析。所以用牛顿-莱布尼兹公式计算复积分之前，首先要验证的是积分上下限的两点必须包含在一个单连通域内，且被积函数在该单连通域内解析。这样才可以利用与实分析学中一样的牛顿-莱布尼兹公式进行计算。　　另外，在可导性方面，复变函数与实分析也是有区别的。在实分析中，某函数若可导，我们只能

8、推出其导函数是存在的，而导函数是否是连续，我们无法确定，更无法确定导函数是否可导。而对于复变函数，一旦它在单连通区域内是解析的，该函数就是无穷阶解析的，即任意阶导数