基于偏微分方程的图像处理方法

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1、基于偏微分方程的图像处理方法电子与信息工程学院张芳hhzhangfang@126.com背景介绍基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像复原方法基于偏微分方程的图像骨架线提取方法基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的其它图像处理方法汇报提纲数字图像像素的灰度值引言基于偏微分方程的图像处理方法(PartialDifferentialEquations,简称PDE)定义图像u———————连续信号图像处理操作F———偏微分算子原始图像I—————初始条件结果图像u—————方程的解应用图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架

2、线、二值化、边缘检测、图像分割等。一、背景介绍从高斯平滑算子导出的偏微分方程偏微分方程滤波模型的导出从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程——热传导方程(Witkin)不足：各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。高斯滤波高斯滤波器热传导方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法

3、，它的主要步骤为：第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第二步，通过泛函变分，求得欧拉－拉格朗日方程；第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法建立泛函及约束条件变分，求欧拉/拉格朗日方程求解微分方程从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法偏微分方程的去噪原理从空域角度讲从频域角度讲高频成分保留少低频成分保留多高斯平滑滤波利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪二、基于偏微分方程的图像滤波方法控制平滑量在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑改进控制平滑方向穿

4、越图像特征方向的扩散量小由线性模型到非线性模型的发展二、基于偏微分方程的图像滤波方法常用的偏微分方程去噪模型——由线性模型到非线性模型的发展热传导方程（线性）Perona和Malik二、基于偏微分方程的图像滤波方法控制平滑量在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑改进控制平滑方向穿越图像特征方向的扩散量小由各向同性模型到各向异性模型的发展二、基于偏微分方程的图像滤波方法常用的偏微分方程去噪模型——由各向同性模型到各向异性模型的发展热传导方程（各向同性）二、基于偏微分方程的图像滤波方法偏微分方程的数值解法——对连续的微分方程进行离散差分求解

5、二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法耦合偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法耦合偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法偏微分方程的图像处理方法的优点1方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于对实际问题的理解和数值处理。2对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线和曲率等）具有较好的控制。4能够模拟动态视觉处理过程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法3可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。二、基于偏微分方程的图像滤波方法3可

6、以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。4能够模拟动态视觉处理过程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法此结果选自：张亶，陈刚，基于偏微分方程的图像处理，北京：高等教育出版社，2004图像复原，就是利用使获得的图像产生退化的先验知识，建立退化图像数学模型，然后沿着图像退化的逆过程加以重建和复原，以获得“清晰和干净”的图像。三、基于偏微分方程的图像复原方法假设函数u表示原始图像，这是未知的，是我们想找到的。用函数I表示描述与u相同场景的观测图像，它是退化的，已知的。二者之间的关系可简单表示为：I=Ku+n其中K是影响图像失真的因

7、子，n是加性噪声。图像恢复问题就是从已知图像I，得到恢复图像u。偏微分方程图像复原方法的主要思想：利用图像的已知信息来填充待修复区域内的已经丢失的或破损的信息，从而得到完整的图像。而要填充未知区域的信息，就需要把待修复区域边界上的信息扩散到区域中去。这个过程可以借助偏微分方程的扩散来实现。三、基于偏微分方程的图像复原方法偏微分方程图像复原方法的主要思路：根据图像修复的准则，建立数学模型，把图像修复问题抽象成为求解一个最优估计的问题，用Euler公式就得到一个偏微分方程。三、基于偏微分方程的图像复原方法基于热传导方程的图像修复方法：D为

8、待修复区域。三、基于偏微分方程的图像复原方法同时完成滤波和修复任务：三、基于偏微分方程的图像复原方法同时完成滤波和修复任务三、基于偏微分方程的图像复原方法同时完成滤波和修复任务原图像预处理（滤波，增强等）二值化骨架算法骨