任意矩阵都可经过初等变换变成阶梯形矩阵

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1、任意矩阵都可经过初等变换变成阶梯形矩阵，方法不是唯一的，然而有没有什么规律性的东西值得探讨？本节的讨论将显示，不论通过什么途径化为阶梯形矩阵，它的非零行的个数总是唯一确定的，我们把这个确定的数称为该矩阵的秩。的k2个交叉点上的元素,按原有的次序组成A的k阶矩阵的行列式称为A的k阶子式。则A的非零子式的最高阶数定义在mn矩阵A中，任意选定k行和k列，它们称为A的秩,记为r(A)。注：零矩阵的秩定义为零。第3节矩阵的秩(Rank)（1）r(A)=r(AT),（2）设r(A)=r，则至少存在一个r阶的非零子式，而且任何大于r阶的子式都为零。（3）n阶方阵A的最大的秩

2、为n。若r(A)=n，则称A为满秩方阵。若r(A)

3、Br(A)r(B)在B中仍取A中的M为B的非零子式M’。B在B中取A中M的红线换位后相交的点为M’。Ar(A)r(B)在B中仍取A中相同的节点所组成的子式M’。故（1），（2）若（1）i，j都在M中；（2）i，j都不在M中；（3）i在M中，j不在M中；（4）i不在M中，j在M中。在B中仍取A中相同的节点所组成的子式M’。对前三种情况，°°°°°°°°°°°°°°°°M其中D为M中用第i行代替第j行所得的矩阵。(4)i不在M中,但j在M中。Bi行j行k在B仍取A中相同的节点所组成的子式M’。1.若命题已证。2.若命题也证。这时，取kri+rjA（为什么？）∴

4、r(A)=3。例3.6求r(A)=?设矩阵，解现在我们要问：为什么要研究矩阵的秩呢？还要从线性方程组说起。设n元线性方程组为这是一个n个方程n个未知数的线性方程组。它的增广矩阵为n(n+1)矩阵：对施行初等行变换，将它变换化阶梯形矩阵，如阶梯形矩阵出现s个零行，说明原方程组中有s个方程不是独立的。显然，阶梯形矩阵的秩为r=n-s,阶梯形矩阵所反应的方程组与原方程组是同解方程组，s=n-r,可见矩阵的秩能够直接反映方程组独立方程的个数。对于一般的m个方程n个未知数的方程组的情况，将在后面另行讨论。习题三P.848.(1),(3),9.10.