把增广矩阵化成行阶梯形矩阵课件.ppt

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1、第三章复习及习题课１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换2021/8/84初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．2021/8/85反身性传递性对称性２矩阵的等价2021/8/86三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．2021/8/87（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵　　　．2021/8/88（２）倍法变换：以数　（非零）乘某行（列），得初等矩阵　　　．2021/8/89（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵　　　　．2021/8/8

2、10经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵2021/8/811经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵2021/8/812对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形2021/8/81

3、3所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的矩阵．2021/8/814定义７矩阵的秩定义2021/8/815定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理2021/8/8162021/8/817定理定理９线性方程组有解判别定理2021/8/818齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法2021/8/819定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论2

4、021/8/820一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典　型　例　题2021/8/821求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩2021/8/822（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第

5、二种方法则较为简单实用．2021/8/823例１求下列矩阵的秩解对　施行初等行变换化为阶梯形矩阵2021/8/8242021/8/825注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．2021/8/826当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组2021/8/827例２求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵　进行初等行变换，使其成为行最简单形．2021/8/8282021/8/8

6、292021/8/830由此可知　　　　　　　，而方程组(1)中未知量的个数是　　，故有一个自由未知量.2021/8/831例３当　取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵　的行列式为2021/8/8322021/8/833从而得到方程组的通解2021/8/8342021/8/8352021/8/836解法二用初等行变换把系数矩阵　化为阶梯形2021/8/8372021/8/838三、求逆矩阵的初等变换法2021/8/839例４求下述矩阵的逆矩阵．解2021/8/8402021/8/841注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行

7、变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．2021/8/842四、解矩阵方程的初等变换法或者2021/8/843例５解2021/8/8442021/8/845第三章　　测试题一、填空题(每小题4分，共24分)．1．若　元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当　　时，方程组有唯一解；当　　时，方程组有无穷多解．2．齐次线性方程组只有零解，则　应满足的条件是　　　　．2021/8/8464．线性方程组有解的充要条件是2021/8/847二、计算题(第1题每小题8分，共16分；第2题每小题9分，共18

8、分；第3题12分)．2021/8/8482．求解下列