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《gps高程拟合中二次曲面特征根和高斯曲率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、测绘通报BULLETINOFSURVEYINGANDMAPPING1999年第7期No.71999GPS高程拟合中二次曲面的特征根和高斯曲率向虎雏摘 要 本文根据GPS高程拟合中二次曲面平行于非零向量弦的中点共面等性质，推导出其特征根，从而界定使用的曲面分为且仅分为椭圆抛物面和双曲抛物面。阜新GPS网试验表明，简捷明快的特征根，是研究似大地水准面事半功倍的实用工具。同时，从高斯曲率
2、K
3、<(4a3a4-a25)≈0的分析中，发现二次曲面甚至一次平面原则上满足GPS工程中高程拟合要求的现象。文章还具体介绍了特征根的
4、使用方法。一、概 述 GPS定位技术能够在3维空间有效地进行测量，如果离析出其中与高程相关的成份，可供水准测量使用。不过GPS获得的是只有纯数学意义的大地高H，而人们需要的是正常高h，两者之间存在如下关系： ζ＝H-h (1)式中ζ称高程异常，表示似大地水准面至参数椭球面的距离。它是由于地下物质及其密度分布不均匀产生的重力异常导致的，具有鲜明的物理特征。这样，GPS高程问题实质上是如何确定似大地水准面了。似大地水准面是点位的函数ζ(x,y)，由于已经延伸进大陆内部的缘故，
5、却不是“解析的面”。鉴于二次曲面的数学模型简单、几何形状规范，需要的已知水准资料又比较少等优点，武测的GPSADJ和同济的TGPPS软件都是用二次多项式模拟某种二次解析曲面来完成高程拟合［1］： z=ζ(x,y)＝a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy＝a0+a1x+a2y+ζ*(x,y) (2)式中(x,y)为相对归算中心点的坐标差。a0的量纲为［长度单位］；a1和a2无量纲；a3，a4，a5的量纲为［长度单位］-1。其中二次型 ζ．(x,y)＝a3x2+
6、a4y2+a5xy= (3)二、二次曲面的特征根与曲面分类［2］ 给定曲面式(2)，若该曲面平行于非零向量α＝(l,m,n)的弦的两端点为M1（x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，则弦的中点M(x,y,z)为(图1)图1 (4)因为此弦与α平行，即令 x2-x1=kl,y2-y1=km,z2-z1＝kn (5)式中k为比例因子。又因为弦的端点M1,M2都在曲面上，所以满足式(2)即
7、 z1＝a0+a1x1+a2y1+a3x21+a4y21+a5x1y1 z2＝a0+a1x2+a2y2+a3x22+a4y22+a5x2y2由上两式之差得 a3(x22-x21)+a4(y22-y21)+a5(x2y2-x1y1)+ a1(x2-x1)+a2(y2-y1)-(z2-z1)=0 (6)从式(4)、(5)知 x22-x21=2klx y22-y21＝2kmy
8、 x2y2-x1y1=［(x2+x1)(y2-y1)+(x2-x1)(y2+y1)］＝k(mx+ly)则式(6)为即 (7) 上式表明曲面中所有平行于非零向量α的弦的中点共面，此平面平行于z轴。如果该平面(7)又垂直于诸弦，则称为曲面的对称平面，曲面被其划分的两侧互为镜像。若非零向量α(l,m,n)垂直平面(7)，则n≡0，而l,m不全为零。即令 即 (8)式中 亦
9、 (9)由于l,m不全为零，则 即 (10)上式为曲面(3)的特征方程，不难得出其解(即比例因子λ)为对应的特征根： (11)因为式(8)中出现的A阵正是曲面中二次型部分式(3)ζ*(x,y)的系数矩阵，它是二阶实对称阵，总存在正交变换，将其化为标准型：ζ*(x,y)=λ1x2+λ2y2若λ1，λ2同号，曲面为椭圆抛物面(图1)；反之，曲面为双曲抛物面(马鞍状)(图2)。二次多项式函数式(2)表征的曲面分为且仅分为这两种类
10、型。分析式(11)可得出决定曲面的因素是该多项式中二次型部分ζ*(x,y)三个系数的结论。至于常数项a0和线性项a1x，a2y,通过坐标变换都会吸收进平方项中去，它们不改变曲面的类型和形状。如果ζ*(x,y)＝0，则曲面退化为平面。图2 阜新GPS高程拟合原理图三、特征根的使用方法 简捷明快的特征根不仅宏观上界定了曲面的类型，还取代和简化了通常坐标变换较繁琐的计算。这种
