第二章 根式及分数指数幂

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1、第二章根式与分数指数幂背景在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：和，教材中是通过实例引入并给出定义：如果，那么x叫做a的n次方根。如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作。当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺

2、利地引入根式呢？解决策略当我们重新回忆“”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为x，既然，推导的结果即。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。那么，“”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：是一个数，它的平方等于2！由此，“”也是一个数

3、，它的n次方等于a！更进一步，是什么呢？由知，故也是一个数（对数），a的次方等于N。如此，则及便不难理解了。于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。（2）数学符号是学习数学的一大难点，若不能引起足够的重视，则学生便常常会把符号混用，导致知识的缺陷。重视数学符号的功能，更应讲清它的来龙去脉，帮助学生在有意义的学习中轻松记忆相关内容。（3）有利于学生的后继学习。是什么？i又是什么？许多符号在后面

4、的学习中都会陆续出现，当学生充分理解根式的意义时，接下来的学习便不会再有困难了。当然我们更要追问：为什么要引入正分数指数幂？负分数指数幂又是如何定义的？通过对以上问题的认真、深刻思考，我们设计了如下教学课例：教学设计：《根式与分数指数幂》一、教学任务分析〖知识与技能〗（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数

5、学知识与现实的密切联系。二、教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。三、教材分析教科书先给出了两个实际例子：国内生产总值（GDP）的增长问题，生物体内碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中已学的整数指数幂，也让学生感受其中的函数模型，并且还有思想教育价值；后一个问题，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的

6、必要性，为此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步介绍了分数指数幂及其运算性质，最后结合一个实例，通过有理指数幂逼近无理系数幂的方法介绍了无理指数幂的意义，从而将指数的取值范围扩充到了实数。四、教学基本流程实例→根式→分数指数幂→无理指数幂五、教学情景设计第一课时根式1、问题情境设疑问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？分析：设x年后我国的GDP为2000年

7、的y倍，那么。设疑：正整数指数幂的含义是什么？它具有哪些运算性质？问题2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为，，，……当生物死亡了6000年，10000