第二章 连续lti系统微分方程式的建立

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1、第二章连续时间系统的时域分析§2.1引言§2.2微分方程的建立与求解§2.3起始点的跳变(从0-到0+)§2.4零输入响应和零状态响应§2.5冲激响应和阶跃响应§2.6卷积§2.7卷积的性质1元阶微分方程一、系统数学模型的时域表示法输入输出描述：状态变量描述：一NN一元阶微分方程§2.1引言2二、系统分析过程列方程解方程经典法：双零法零输入：零状态：变换域法：全解=齐次解+特解可用经典法卷积积分法(新方法)FT,LT3一、微分方程的建立根据元件特性约束和网络拓扑约束。§2.2微分方程的建立与求解4例2.2.1：求并联电路的端电压与激励间关系。解：一、微分方程的建立5解：一、微分方程的建立

2、例2.2.2如下图机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度v(t)间的关系。msF6二、n阶LTI系统微分方程的一般形式一个n阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用下面一般形式的n阶线性常微分方程描述。Ci,Ei均为常数。7（一）齐次解rh(t)三、线性时不变系统经典法求解写出齐次解形式特征根齐次解的形式单根k重实根由特征方程求出特征根8三、线性时不变系统经典法求解9系统的特征方程为特征根因而对应的齐次解为三、线性时不变系统经典法求解10三、线性时不变系统经典法

3、求解（二）特解rp(t)比较系数定出特解。由微分方程右端e(t)形式设具有系数的特解r(t)代入原方程激励函数e(t)响应函数r(t)的特解α等于特征单根α不等于特征根11已知：求两种情况下的特解。例2.2.4给定微分方程式三、线性时不变系统经典法求解12齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数例2.2.5：求如下微分方程的全解。三、线性时不变系统经典法求解（三）全解13解:齐次方程为特征方程：特征根：该方程的齐次解为：激励函数中α=-1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：三、线性时不变系统经典法求解14代入原微分方程得求得所以特解为全解为代入初始条件求得所以有三、线性时不变系

4、统经典法求解15三、线性时不变系统经典法求解16根据电路形式，列回路方程列结点电压方程(1)（1）列写电路的微分方程17(2)求系统的完全响应系统的特征方程特征根齐次解方程右端自由项为代入式(1)要求系统的完全响应为特解18换路前(3)19因而有由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,20(4)要求的完全响应为21§2.3起始点的跳变22一、起始点的跳变状态，起始状态状态，初始条件，也称导出的起始状态O0-0+t234.如果微分方程右端包含及其各阶导数项，则系统从0_到0+状态有跳变。2.一般情况下换路期间满足换路定则：1.对于电路，系统0_状态就是系统中储能元件的储能情况;3.但是

5、当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0_到0+状态就会发生跳变。一、起始点的跳变说明：24(一)电容电压的跳变由伏安关系当有冲激电流作用于电容时0-到0+有跳变。25例2.3.1当有阶跃电压作用于电容时，0-到0+有跳变。26(二)电感电流的跳变如果　　为有限值，当有冲激电压作用于电感时，0-到0+有跳变。27例2.3.2当有阶跃电流作用于电感时，0-到0+有跳变。)(tiL+-LIs(t)VL(t)28原理：t=0时刻微分方程左右两端δ(t)及各阶导数应相等!例2.3.3：二、冲激函数匹配法确定初始条件数学描述分析过程29分析过程30数学描述设则代入方程得出所以得即即

6、方程右端含项，它一定属于31例2.3.4：描述LTIS的微分方程为输入如图，已知用冲激函数匹配法求二、冲激函数匹配法确定初始条件解：将代入微分方程，t≥0，得32方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入微分方程二、冲激函数匹配法确定初始条件33求得因而有所以二、冲激函数匹配法确定初始条件34习题2-5二、冲激函数匹配法确定初始条件35§2.4零输入响应和零状态响应36一、系统响应的划分自由响应＋强迫响应(Natural+Forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state)全响应37外加激励

7、e(t)=0，只由起始状态x(0-)产生的响应。将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数匹配法求r(0+),再求全解rzs(t)的待定系数。零输入响应rzi(t)零状态响应rzs(t)零输入响应：零状态响应：是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由r(0+)=r(0-)求出齐次解rzi(t)的待定系数。起始状态r(0-)=0，只由外加激励e(t)≠0产生的响应。一、系统响应的划分{x(0-)}H[.]38由系统本身特性决定。对应