2.1 lti连续系统的响应

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1、第二章LTI连续时间系统的时域分析¢2.1LTI连续系统的响应四、零输入响应和零状态响应由时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，这只是系统响应的一种分解形式，另一种广泛应用的重要分解是零输入响应和零状态响应。四、零输入响应和零状态响应¢例1、设有如图所示RRC电路，电容两端++有起始电压v(0-)，+cf(t)v激励源为f(t)，求t>0c(0-)vc(t)-时系统的响应v(t)。-c-t1−t−(t−τ)v(t)eRCv(0)1eRCf(t)d=+τCC−RC∫0−完全响应中，第一项只和电容两端的起始储能有关，与激励无关，被称为零输入响应，第

2、二项与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。四、零输入响应和零状态响应¢对于LTI系统，把输出响应分成由激励信号f(t)引起的响应H[f(t)]和由系统起始状态{x(0-)}引起的响应H[{x(0-)}]两者的叠加，由此可分别定义零输入响应和零状态响应。H[·]f(t)y(t)=H[f(t)]+H[{x(0-)}]{x(0-)}¢零输入响应的定义：没有外加激励信号的作用，只有系统起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应，记为y(t)。zi四、零输入响应和零状态响应¢零输入响应yzi(t)是满足方程：ay(n)(t)+ay(n-1)(t)+…+ay(1)

3、(t)+ay(t)=0nzin-1zi1zi0zi及起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,n-1)的解，因此，它是齐次解的一部分，其表达式为：nxktyzi(t)=∑Azikek=1¢由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发生变化，即y(k)(0)=y(k)(0-)，于是，y(t)中的常数+zi可以由y(k)(0-)确定。四、零输入响应和零状态响应¢零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产生的响应，记为y(t)。它满足方程zsay(n)(t)+ay(n-1)(t)+…+ay(1)(t)+ay(t)nzsn-1

4、zs1zs0zs=bf(m)(t)+bf(m-1)(t)+…+bf(1)(t)+bf(t)mm-110及起始状态y(k)(0-)(k=0,1,…,n-1)，其表达式为：nxktyzs(t)=∑Azske+B(t)k=1¢其中B(t)是特解，可见零状态响应由自由响应的一部分和特解构成。四、零输入响应和零状态响应¢系统响应的表达式：nxkty(t)=∑Ake+B(t)k=1自由响应︸︸强迫响应nn=∑Aexkt+∑Aexkt+B(t)zikzskk=1k=1零输入响应︸零状态响应︸四、零输入响应和零状态响应¢例2给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且已经达到稳

5、态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响应。2SR1=1i(t)1iC(t)iL(t)++L=1/4HC=1Fe(t)=4V--Re(t)=2V2=3/2四、零输入响应和零状态响应(1)建立电路的微分方程i''(t)+7i'(t)+10i(t)=e''(t)+6e'(t)+4e(t)(2)求零输入响应i''(t)+7i'(t)+10i(t)=0zizizi其解的形式为：i(t)=Ae-2t+Ae-5t，t≥0zizi1zi2要求解AA必须首先确定i(0)、i'(0)。zi1、zi2，zi+zi+四、零输入响应

6、和零状态响应¢带有起始值的等效电路其中：i(t)R1=1iL(t)iC(t)iL(0-)=4/5AC=1Fv(0-)=6/5VLC+iL(0-)e(t)+问题：-vC(0-)R2=3/2如何求解izi(0+)、-i'(0)？zi+四、零输入响应和零状态响应¢零输入等效电路¢初始值等效电路i(t)R1=1izi(0+)iL(0+)R1=1iC(0+)L=1/4C=1F+vC(0-)=6/5ViL(0-)=4/5A+-iL(0-)=4/5AvC(0-)=6/5VR2=3/2R2=3/2-由此可得：i(0)=-6/5A、i‘(0)=2A/s，将该值代zi+zi+入零输入

7、响应的表达式可求得A=-4/3A=2/15zi1、zi2四、零输入响应和零状态响应(3)零状态响应i''(t)+7i'(t)+10i(t)=e''(t)+6e'(t)+4e(t)zszszs其解的形式为：i(t)=Ae-2t+Ae-5t+B(t)，t≥0zszs1zs2由于，e(t)=4，因此，其特解B(t)=8/5。另外，要求解AA必须首先确定i(0)、zs1、zs2，zs+i'(0)。zs+四、零输入响应和零状态响应¢零状态等效电路izs(t)R1=1iC(t)iL(t)+L=1/4HC=1Fe(t)=4u(t)-R2=3/2由于，i(0)=0、i’(0)=0

8、，可直接由