§2.1-2--LTI连续系统的响应.ppt

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1、微分方程的经典解关于0-和0+初始值零输入响应和零状态响应§2.1LTI连续系统的响应第二章连续系统的时域分析LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。一、微分方程的经典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)微分方程的经典解：完全解=齐次解+特

2、解。对于一个单输入－单输出的LTI连续系统，可以用下面的一个n阶常系数线性微分方程描述其中n可以大于m，也可以小于m。1.齐次解步骤：特征方程→特征根→写出齐次解形式有重根的情况：（1）r重实根没有重根的情况：（2）一对共轭复根（3）r重共轭复根齐次解举例解：系统的特征方程为特征根对应的齐次解为2.特解根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。激励f(t)响应y(t)的特解yp(t)3.全解完全解=齐次解+特解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t

3、)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。全解举例例描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t当f(t)=2e–t时，其特解可设为yp

4、(t)=Pe–t将其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解为yp(t)=e–t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。故其特解为yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方

5、程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。特解为yp(t)=(t+P0)e–2t全解全解为y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解为y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。二．关

6、于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。注意：起始值或初始状态指（0-），初始值或初始条件指（0+）通常，需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数

7、中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。y(j)(0+)求法：（1）多项式法：见书44页例2.1-3；（2）系数平衡法:两端奇异函数及其各阶导数的系数对应相等。也叫系数匹配法。此法更加简单、常用。关于多项式法若一个二阶LTI连续系统，描述它的微分方程右端含有冲击函数的最高阶导数为一阶其中r1(t),r2(t),r3(t)均为不含及其各阶导数。（2）将上式代入原方程中，根据奇异函数的各阶导数系数相等的原理，比较方程两端的系数，求得待定系数a,b。（3）将a,b代回上式，前两个等式两端从0-到0＋积分，直

8、接求解y’(0+),y(0+)。（1）设关于系数平衡法步骤：（1）考虑y(n)(t)中是否含有冲击函数及其导数，以及导数的阶数是多少，来判断y(j)(0+)和y(0+)的连续性。（2）对原方程两端从0－到0＋积分，根据函数连续性和方程关系确定出y(j)(0+)。0－和0+初始值举例例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求