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时间:2017-11-14
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1、正切函数的图象和性质(1)教学目的:1.理解并掌握作正切函数和余切函数图象的方法.2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图象解最简三角不等式的方法.教学重点:勇单位圆中的正切线作正切函数的图象.教学难点:作余切函数的图象.授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:正切线:首先练习正切线,画出下列各角的正切线:正切线是AT.现在我们来作正切函数和余切函数的图象.二、讲解新课:正切函数的图象:1.首先考虑定义域:2.为了研究方便,再考虑一下它的周期:的周期为(最小正周期)3.因此我们可选择的区间作出它的图象根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切
2、函数,且的图象,称“正切曲线”正切函数的性质:1.定义域:,2.值域:R3.观察:当从小于,时,当从大于,时,4.周期性:5.奇偶性:奇函数6.单调性:在开区间内,函数单调递增余切函数y=cotx的图象及其性质(要求学生了解):——即将的图象,向左平移个单位,再以x轴为对称轴上下翻折,即得的图象定义域:值域:R,当时,当时周期:奇偶性:奇函数单调性:在区间上函数单调递减三、讲解范例:例1比较与的大小解:,,又:内单调递增,例2讨论函数的性质略解:定义域:值域:R奇偶性:非奇非偶函数单调性:在上是增函数图象:可看作是的图象向左平移单位例3求函数y=tan2x的定义域解:由2x≠kπ+,(k∈Z
3、)得x≠+,(k∈Z)∴y=tan2x的定义域为:{x|x∈R且x≠+,k∈Z}例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围:tanx>0解:画出y=tanx在(-,)上的图象,不难看出在此区间上满足tanx>0的x的范围为:0<x<结合周期性,可知在x∈R,且x≠kπ+上满足的x的取值范围为(kπ,kπ+)(k∈Z)例5不通过求值,比较tan135°与tan138°的大小解:∵90°<135°<138°<270°又∵y=tanx在x∈(90°,270°)上是增函数∴tan135°<tan138°四、课堂练习:1函数y=tan(ax+)(a≠0)的最小正周期为()2以下函数中,不是奇函数的
4、是()Ay=sinx+tanxB.y=xtanx-1C.y=D.y=lg3下列命题中正确的是()A.y=cosx在第二象限是减函数B.y=tanx在定义域内是增函数C.y=|cos(2x+)|的周期是D.y=sin|x|是周期为2π的偶函数4函数y=sinx+tanx,x∈[-,]的值域为5函数y=cotx-tanx的周期为6函数y=的周期为7作出函数y=|tanx|的图象,并观察函数的最小正周期和单调区间8试证cotx=-tan(+x),并指出通过怎样的图象变换可由y=tanx的图象得到y=cotx的图象9作出函数y=的图象,并观察函数的周期参考答案:1C2B3C4[-]56π7函数y=
5、|tanx|的图象如下图:函数y=|tanx|的周期为π单调递增区间为[kπ,+kπ],k∈Z单调递减区间为(-+kπ,kπ],k∈Z8(略)9函数y=的图象如下图:周期为π五、小结本节课我们研究了正切函数和余切函数的图象和性质,并能在解题中应用六、课后作业:1正切函数在其定义域上有最值吗?答:没有,因为正切函数的值域为R且不等于kπ+(k∈Z).2在下列函数中,同时满足的是()①在(0,)上递增;②以2π为周期;③是奇函数Ay=tanxBy=cosxCy=tanxDy=-tanx答案:C3函数y=tan(2x+)的图象被平行直线隔开,与x轴交点的坐标是与y轴交点的坐标是(0,1),周期是,
6、定义域的集合是,值域的集合是R,它是非奇非偶函数4函数y=+的定义域是()A(2k+1)π≤x≤(2k+1)π+,k∈ZB(2k+1)π<x<(2k+1)π+,k∈ZC(2k+1)π≤x<(2k+1)π+,k∈ZD(2k+1)π<x<(2k+1)π+或x=kπ,k∈Z解:由,得(2k+1)π≤x<(2k+1)π+答案:C5已知y=tan2x-2tanx+3,求它的最小值解:y=(tanx-1)2+2当tanx=1时,ymin=2七、板书设计(略)八、课后记:
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