竞赛振动与波动

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1、振动和波动☆【知识梳理】☆前面我们已经分别讨论了受力平衡的物体（静止或做匀速运动），受恒力作用的物体（做匀变速直线运动或抛体运动），受到一个和运动方向垂直的大小不变的力的物体（做圆周运动）．现在我们来讨论一种更加复杂的、受力大小和方向每时每刻都在变化的物体，即做简谐振动的物体．一、简谐运动1．简谐运动的方程如果一个物体受到的恢复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，即满足=－k的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐运动．根据牛顿第二定律，物体的加速度．因此，如果一个物体的加速度和它偏离平衡位置的位移大小成

2、正比，方向相反，那么这个物体做的就是简谐运动．让我们来分析一个做匀速圆周运动的物体在一直径上的投影的运动．当t=0时刻，一个物体m从x轴上的A点开始做匀速圆周运动，角速度为ω．经过时间t，物体m到了B位置（图1）．此时它的向心加速度在x方向上的投影（即它在x轴上的投影的加速度）的大小为ax=ω2Rcosωt①图1它在x轴上的投影离O点的距离是x=Rcosωt②即ax=ω2x．因为的方向和的方向相反，所以有=－ω2．式中ω2是一个定值，因此m在x轴上的投影做的是简谐运动，ω叫做简谐运动的圆频率．从图1中同样可以看出

3、，物体在x轴上的投影的速度=－ωRsinωt③18①、②、③三式叫做简谐运动的方程．不难看出，如果t=0时，物体和O点的连线与x轴成φ0角，那么振动方程成为=Rcos(ωt+φ0)①′=－ωRsin(ωt+φ0)②′=－ω2Rcos(ωt+φ0)③′式中的R是简谐运动的振幅，ω是简谐运动的圆频率，φ0叫初相位，很明显，简谐运动的频率f=ω/2π．因为=－ω2，即=－ω2m．将此式与简谐运动的定义=－k比较，可知ω=．式中k是和的比例系数，m是振子的质量．图2让我们来看这样一个问题：如图2所示，有一个弹簧振子质量为

4、m，放在光滑水平面上，平衡位置为O点，其圆频率为0.5π/s．另一个质量也是m的滑块由h=0.20m高的A点由静止滑下，质点滑到曲面底部B需时tAB=1.5s，OB间距l=6.0m．现将弹簧振子向左压缩到x0=2.0m处释放，同时释放A处的滑块，两个物体碰撞后粘在一起．若从碰撞时开始计时，求系统的振动方程．（不计摩擦）从释放两个物体时开始计时，到t1时刻两物体相撞，那么根据题意可得（振动方程向左为正）v2(t1－1.5)+[2－2cosω1t1]=8①根据机械能守恒可得v2==m/s=2.0m/s．代入方程①，有

5、2t1－2cos(0.5πt1)=9．这个方程不易求解，可以用作图法来解（这是一种有效而有普遍意义的方法）．作出18两条曲线（图3）交于t1=4.8s处，即t1=4.8s为方程的解．由x=2cos(0.5πt1)=0.61m可知，碰撞发生在O点左边0.61m处；根据v1=－2×0.5π×sin(0.5πt1)m/s=－3.0m/s，可知发生碰撞前振子的速度为3.0m/s，方向向右．图3根据动量守恒定律（忽略碰撞过程中弹簧的作用力）－3m＋2m=2mv，可得v=－0.5m/s．根据振动方程=Acos(ωt+φ0)，

6、=－Aωsin(ωt+φ0)．令t=0，便有=Acosφ0②=－Aωsinφ0③将②、③式平方相加，可得A=．③÷②，可得tanφ0=－v/xω．碰撞前的弹簧振子ω==0.5πrad/s．碰撞后的弹簧振子ω′===πrad/s．根据碰撞后的x、v、ω′，可知碰撞后A==m=0.76m，φ0=tan－1(－)=tan－1(－)rad=0.64rad．所以碰撞后的振动方程为（向左为正）18=0.76cos(1.11t+0.64)m，=－0.84sin(1.11t+0.64)m/s，=－0.93cos(1.11t+0.

7、64)m/s2．2、简谐运动的能量一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即=mv2+kx2=kA2．简谐运动的动能EK、势能EP和总能量随位移x变化的图线如图4所示．很明显，在振动过程中，系统的总能量是守恒的．在上面讨论的一个问题中，两物体碰撞结束后的能量为=kx2+(2m)v2=(0.25π2×0.612+2×0.52)=0.71m．在位移最大处的能量为′=kx2max=×0.25π2m×0.762=0.71m．在平衡位置时的能量为=(2m)v2max=×2m×0.842=0.71m．有=E′=E

8、′′的结论是必然的．3．简谐运动的周期如果能证明一个物体受的合外力=－k．那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期T==2π．式中的m是振动物体的质量．有一粗细均匀的U形管中装有一定量的水，水柱的总长度为l．受扰动后水在管内振动，如果忽略管壁对水运动的阻力，求振动的周期．考查右管水面升高了x的某一瞬间：左右两管水面的高度差是2x（图518），因此使水柱运动的合外力=ρg