竞赛振动和波动

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1、振动和波动☆【知识梳理】☆前面我们已经分别讨论了受力平衡的物体（静止或做匀速运动），受恒力作川的物体（做匀变速直线运动或抛体运动），受到一个和运动方向垂直的大小不变的力的物体（做圜周运动•现在我们來讨论一种更加复杂的、受力大小和方向每时每刻都在变化的物体，即做简谐振动的物体.一、简谐运动1.简谐运动的方程如果一个物体受到的恢复力工尸与它偏离平衡位置的位移I大小成正比，方向相反，即满足工尸二一的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐运动.根据牛顿笫二定律，物体的加速度因此，如果一个物体的加速度和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反，那么这个物体做的就是简谐运动.让我

2、们来分析一个做匀速圆周运动的物体在一直径上的投影的运动.当f=0时刻，一个物体加从x轴上的4点开始做匀速圆周运动，角速度为妙经过时间/，物体加到了〃位置（图1）・此时它的向心加速度在x方向上的投影（即它在兀轴上的投影的加速度）的人小为2ax=oyRcoscot它在x轴上的投影离0点的距离是x=Rcoscot因为心的方向和X的方向相反，所以有ax=co2x•2ax=—cox.式中少2是一个定值，因此加在天轴上的投影做的是简谐运动，3叫做简谐运动的圆频率.从图1中同样可以看出，物体在X轴上的投影的速度vx=~coRsincot①.②.③三式叫做简谐运动的方程.不难看出，

3、如果20时，物体和O点的连线与x轴成0（）角，那么振动方程成为X=Rcos(cot+°o)V=—cousin(cot+0())一2Cl=—aTRcOS(cot+00)①'③'式中的/?是简谐运动的振幅，血是简谐运动的圆频率,00叫初相位,很明显,简谐运动的频率/=cd/271•因为ax=—co2x,即2~cotnX•将此式与简谐运动的定义工尸=—応比较，可知（0=^1k/m.式中k是工尸和1的比例系数，加是振子的质量.让我们來看这样一个问题：如图2所示，有一个弹簧振子质量为加，放在光滑水平血上，平衡位置为。点，其圆频率为0.5^-/s・另一个质量也是〃7的滑块由h=

4、0.20m高的A点由静止滑-F,质点滑到曲面底部B需时tAB=1.5s,OB间距/=6.0m.现将弹簧振子向左压缩到xo=2.0m处0/B释放，同时释放4处的滑块，两个物体碰撞后粘在一•起.若从碰撞时开始计时，求系统的振动方程.（不计摩擦）从释放两个物体时开始计时，到/1时刻两物体相撞，那么根据题意可得（振动方程向左为正）卩2(口一1・5)+[2~2cosco]t]=8①根据机械能守恒可得V2=J2gh=72x10x0.2m/s=2.0m/s.代入方程①，有2t—2cos(0.5^i)=9•这个方程不易求解，可以川作图法来解（这是一种冇效而冇普遍意义的方法）.作

5、出西=2tx-9,x2=2cos（0.5加］）•两条曲线（图3）交于/】=4・8s处，即z）=4.8s为方程的解.由x=2cos（0.57ct）=0.61m可知,碰撞发生在O点左边0.61m处；根据v=—2X0.5ttXsin（0e5^i）m/s=—3・0m/s,可知发生碰撞前振子的速度为3・0m/s,方向向右・x/m图3根据动量守恒定律（忽略碰撞过程中弹•簧的作用力）-3m+2m=2/7?v,可得v=—0.5m/s.X=Acos（cot+（po）,根据振动方程v=—Acosin（cot+（pQ）.X=Acos（p（）v=—Acosin（po将②、③式平方相加，

6、可得③一②，可得tan（p（）=—v/xco.碰撞前的弹•簧振子co=yjk/m=0.5^rad/s.co0・5（z=/—=/—^rad/s根据碰撞后的xsV＞心,可知碰撞后—0.5迈0-61X0.5/r）rad=0.64rad•所以碰扌童厉的振动方程为（向左为正）x=0・76cos(1.1k+0.64)m,v=—0>84sin(Lllr+0<64)m/s,a=—0.93cos(1.1k+0.64)m/s2.2、简谐运动的能量-个弹•簧振子的能量山振子的动能和弹簧的艸性势能构成，即=-y-znv2+=-^~kA2.简谐运动的动能Ek、势能尽和总能量工E随位移x变化的

7、图线如图4所示.很明显,在振动过程中，系统的总能量是守恒的.在上血讨论的一个问题中，两物体碰撞结束后的能量为=-^-kx+~Y(2m)v2tn尺7-o.ox=—(0.25矿X0.6广+2X0・5~)=0.71m.在位移最大处的能杲为’工E‘=斗％代】ax=4~x0.25jr2mX0.762=0.71m.在平衡位置时的能暈为2^E=—(2/?:)v"max=亍><2mX0.84^=0.71m.有工E=E=E”的结论是必然的.3.简谐运动的周期如果能证明一个物体受的合外力Yf=一kx.那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期式中的加是振动物体的质量.有一粗细均匀的