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1、155A3不等式與集合A3-1不等式的解與集合什麼是不等式的解？凡是使得不等式成立的數，都是這個不等式的解。以一元一次不等式為例，凡是小於或等於的數都能使得不等式2x10成立，而且也只有這些小於或等於的數才能滿足此不等式。此時要注意，當我們提到不等式的解時，並不是對某個單一特定的解而言，而是指它所有的解。所以，不等式2x10的解就是指所有「小於或等於的數」。在國中時，我們把原不等式2x10化為x的形式，並以它來表示2x10的解，並賦予數學式x兩層涵意：它除了表示一個不等式外，又代表這個不等式的所有解。在某些情境
2、之下，我們可能會進一步的要求這些解必為整數，因此必須用「小於或等於的整數」來表述這些解。在此，不難發現只用文字來敘述不等式的解會有其不便性。當然也可以把不等式的所有解一一列出：0、1、2、3、4、…。這種表示法有點混淆不清，這是因為每個人對其中的「…」可能有著不同解讀方式。所以，我們應避免這一種方式，儘管大家都可能看出這些已列出的數字所要表達出的規律。另一方面，並不是所有的東西都可以用一一列出的形式來呈現。除了用文字敘述之外，在數學上是否有其它較為簡便的方式來描述它呢?在高中階段，我們所要學習的數學概念及對象已
3、經不再侷限於數字。因此，在陳述新的概念及對象時，155我們為了避免冗長的敘述和語意的混淆不清，我們將逐步引用康托（Cantor）所建立的集合概念。根據康托的說法，當我們能把一些清晰可分的、客觀的世界中，或我們思想中的事物看成「一體」時，這個整體便稱為「集合」(Set)。我們稱集合中的事物為它的「元素」，如果x是集合S的元素，便用符號xS（讀作x屬於S）表示；若x不是S的元素，則以xS（讀作x不屬於S）表示；不包含任何元素的集合稱為「空集合」，並記作。例如，我們可以把「小於或等於的整數」這些數當成一個集合S。集合
4、S的元素就是0，1，2，3，4、…這些數字。當然，我們也可以符號0S、1S、2S、3S、…來陳述這一件事；另一方面，可以用1S、2S、3S、4S、…來表示所有的自然數並不在集合S裡面。【類題練習1】已知A{1,2,5}，下列何者正確？(1)2A(2)3A(3)5A現在來看如何以集合的語言，來敘述「小於或等於的整數」呢？(1){0,1,2,3,4,…}；(2){x｜x為小於或等於的整數}；(3){x｜x且x為整數}、{x｜x且xZ}或{xZ｜x}。首先，來看這幾種表示法的差異。將所有的元素以(1)的形式在括弧{}
5、中表列出來，並稱此方法為集合的表列法。當使用表列法列舉元素時，元素之間並沒有一定的排序，而且元素也可以重複列舉。例如，由a、b和c所構成的集合可以用{a,b,c}、{b,c,a}、{a,b,c,c,a}等來表示。我們已在前面說明了(1)中的{0,1,2,3,4,…}這種表示法的缺失。倘若，一個集合有很多元素（或甚至有無窮多個元素）時，155我們不方便或者甚至根本無法全數列舉時，則可採用如(2)或(3)的方式，以集合中元素的共同的特性來表示（稱為構造法）。(3)中的表示法是使用較多的數學符號來陳述，例如，用x來取
6、代文字敘述x為小於或等於，並用xZ來取代文字敘述x為整數。【類題練習2】已知A{x｜x，且xZ}，下列何者正確？(1)2A(2)3A(3)0.5A在此，不難看出使用集合符號的便利性。在解方程式或不等式時，除了可用集合的語言來表示方程式或不等式的解外，也可以用集合的概念來輔助解題。我們將舉一些例子來說明這一概念。如果集合A中的每一個元素都屬於集合B，我們就稱A是B的「子集」，並記作AB（讀作A包含於B）或BA（讀作B包含A）。如果進一步，我們又知道B中的每一個元素也都屬於A，也就是說A與B兩集合由相同的元素所構成
7、，那麼我們就說A、B兩集合相同(或相等)，並記作AB。例如，{0,1,2,3,4,…}{x｜x為小於或等於的整數}。【想想看】對集合A，我們能說AA嗎？如果所探討的集合都為某個給定集合U的子集，則稱集合U為宇集。一般來說，在解方程式或不等式時，我們會考慮所有的實數解，此時就可以取所有的實數R為宇集；如果我們只考慮整數解時，那麼就可以取所有的整數Z為宇集。注意，我們要仔細區分1A及{1}A兩個符號的差異。前者是說1是集合A的一個元素，而後面者是指集合{1}是集合A的一個子集合。當然這兩個概念是可以互推的。值得一提
8、的是：1A是一個錯誤的表示法，這是因為1不是一個集合，所以它不能是集合A的子集；另一方面，可能會看到{1}A這一個表示法，但是在高中的數學課程裡並不討論此一情形。155【重點整理】1.當我們能把一些事物看成「一體」時，這個整體稱為集合，且稱集合中的事物為它的元素。2.若a是集合A的元素，稱a屬於A，記作aA；反之，就稱a不屬於A，記作aA。3.如果集合A中的每一個元素都屬於集合B，我們
