定值问题2012年中考压轴题(含答案)

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1、定值问题2012年中考压轴题(含答案)2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编　　专题5：定值问题　　6.（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．　　理解与作图：　　（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的　　反射四边形EFGH．　　计算与猜想：　　（2）求图2，图3中反射四边形EF

2、GH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？　　启发与证明：　　（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我　　们的启发证明（2）中的猜想．　　【答案】解：（1）作图如下：　　（2）在图2中，，　　∴四边形EFGH的周长为。　　在图3中，，，　　∴四边形EFGH的周长为。　　猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。　　（3）延长GH交CB的延长线于点N，　　∵，，　　∴。　　又∵FC=FC，　　∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。　　∴EF=MF

3、，EC=MC。　　同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。　　∵，，，∴。　　∴GM=GN。　　过点G作GK⊥BC于K，则。　　∴。　　∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。　　【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。　　【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。　　（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，F

4、G=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。　　（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。　　7.（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.　　（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，　　

5、i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；　　ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；　　（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.　　　　　【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，　　　　∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。　　又∵R=1，∴由勾股定理可知B

6、C=。　　　　ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。　　　　可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），　　　　且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。　　　　故sin∠A=sin∠A=。　　　　　（2）保持不变。理由如下：　　如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，　　在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK。　　同理得：BK=AK=PK。　　∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。　　∴由（1）ii）sin∠A=可知sin60°=。　　∴AP=（为定值）。　　【考点】三角形的外

7、接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。　　【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；　　ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E=，得出即可。　　（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A=，得出AP=（定值）即可。　　8.（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E

8、、F不与B．C．D重合．　　（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；　　（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．　　【答案】解：（1）证明：如图，连接AC　　∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，　　∠BAE+∠EAC=60°，