线性代数攻略

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1、线性代数攻略线性代数由两部分组成:第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策1.计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.一.行列式的计算:单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点.l核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:41l典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转

2、置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)例1计算下述三个n阶矩阵的行列式：.解先算

3、B

4、=xn;再算

5、A

6、：41故

7、C

8、=

9、A

10、(-1)(1+¼+n)+[(n+1)+…+(2n)]

11、B-1

12、=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.例2(2004-4)设矩阵,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则

13、B

14、=[].分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是

15、A-2E

16、

17、B

18、

19、A*

20、=1.又

21、A*

22、=9,

23、A-2E

24、=1,所以

25、B

26、=1/9.(切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)例3设4×4矩阵A=(x,a,b,g),B=(h,b,g,a).若

27、A

28、=1,

29、B

30、=2,则行列式

31、A+B

32、=[].正解：

33、

34、A+B

35、=

36、x+h,a+b,b+g,g+a

37、=

38、x+h,2(a+b+g),b+g,g+a

39、=2

40、x+h,a+b+g,b+g,g+a

41、41=2

42、x+h,a,b+g,g+a

43、=2

44、x+h,a,b+g,g

45、=2

46、x+h,a,b,g

47、=2(

48、x,a,b,g

49、+

50、h,a,b,g

51、)=2(

52、A

53、+

54、B

55、)=6.巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但

56、B

57、=2,所以取最简单的.于是,故

58、A+B

59、=6.例4若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式

60、A-1+2A*

61、=[].解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角

62、线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此

63、A

64、=-6!剩余的就是简单的变形了:A-1+2A*=A-1(E+2AA*)=A-1(E+2

65、A

66、E)=-11A-1.故

67、A-1+2A*

68、=

69、-11A-1

70、=(-11)4

71、A-1

72、=-114/6.本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!41例2(上海交大2002)计算行列式其中,.本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B,其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B¹0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB

73、=a1b1+a2b2+…+anbn¹0.从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK例3(2001)设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX,A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式

74、2A2+3E

75、.很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知,A(A2+3A-4E)X=0.由此知,

76、A

77、=0:否则,A可逆,X,AX,A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A41-4E)Y=0的非零解.于是

78、A2+3A-4E

79、=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所

80、以,

81、2A2+3E

82、=3´5´35=525.例4(1995)设n阶矩阵A满足AA¢=I,

83、A

84、<0,求

85、A+I

86、.解首先,1=

87、AA¢

88、=

89、A

90、2,所以

91、A

92、=-1.其次,

93、A+I

94、=

95、A+AA¢

96、=

97、A

98、

99、I+A¢

100、=

101、A

102、

103、I+A

104、=-

105、I+A

106、,故

107、A+I

108、=0.(涉及的知识点:

109、A

110、=

111、A¢

112、,(A+B)¢=A¢+B¢.)例5(1999)设A是m´n矩阵,B是n´m矩阵,则A.当m>n时,必有行列式

113、AB

114、¹0.B.当m>n时,必有行列式

115、AB

116、=0.C.当m

117、AB

118、¹0.D.当m

119、AB

120、=0.二.矩阵与n维向量空间l核心内容矩阵运算(主要是乘法)

121、/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法l典型方法初等变换与初等矩阵41l典型例题1.解矩阵方程:原则是先化简后计算例6设矩阵B满足方程.求B.解A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得;再左