高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案 新人教a版必修4

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1、1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)【学习要求】1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．【学法指导】1．在函数的周期定义中是对定义域中的每一个x值来说，对于个别的x0满足f(x0＋T)＝f(x0)，并不能说T是f(x)的周期．例如：既使sin＝sin成立，也不能说是f(x)＝sinx的周期．2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否

2、关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(－x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2kπ)＝知y＝sinx与y＝cosx都是函数，都是它们的周期，且

3、它们的最小正周期都是2π.3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是，定义域关于对称．(2)由sin(－x)＝知正弦函数y＝sinx是R上的函数，它的图象关于对称．(3)由cos(－x)＝知余弦函数y＝cosx是R上的函数，它的图象关于对称.探究点一　周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．(1)证明

4、函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数．答　∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．答　∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x＋2a)＝f(x)．∴函数y＝f(x)是周期函数，且2a就是它的一个周期．探究点

5、二　最小正周期如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是，它们的所有周期可以表示为：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上述特征的一个周期函数：.(3)证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程

6、．请你补充完整．证明：由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有.令x＝，代入上式，得sin＝sin＝1，又sin＝，所以.另一方面，当T∈(0,2π)时，，这与矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．同理可证，余弦函数y＝cosx的最小正周期也是2π.探究点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)的周期证明是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最

7、小正周期．答　由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以Asin＝Asin(ωx＋φ)，即f＝f(x)，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是.探究点四　正、余弦函数的奇偶性正弦曲线余弦曲线从函数图象看，正弦函数y＝sinx的图象关于对称，余弦函数y＝

8、cosx的图象关于对称；从诱导公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的函数，余弦函数是R上的函数．【典型例题】例1　求下列函数的周期．(1)y＝sin(x∈R)；(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；(3)y＝

9、sinx

10、(x∈R)．解　(1)方法一　令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R，函数f(z)＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量