高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学案 新人教A版必修.doc

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1、第一章 三角函数三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1.理解正弦函数、余弦函数的性质:周期性和值域.2.利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的对称轴、对称中心及周期等.3.利用正弦函数、余弦函数的单调性求与弦函数有关的单调区间.一、正、余弦函数的周期1.周期性定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.2.对周期函数的理解要注意以下几个方面:(1)f(x+T)=f(x)是

2、定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个x的值,x+T仍在定义域内,且等式成立;(2)周期T是非零常数,是使函数值重复出现的自变量x的增加值;(3)周期函数的周期不是唯一的,如果T是函数f(x)的周期,那么nT,n∈Z,n≠0也一定是函数f(x)的周期;(4)周期函数的定义域不一定是R,但一定是无界集,至少是一方无界;(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数,如函数y=x-k,(k

3、的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.4.正弦函数和余弦函数都是周期函数.2kπ(k∈Z,k≠0)是周期,最小正周期是2π.1.求出下列函数的最小正周期:(1)y=2cos;(2)y=sin.体会这些函数的周期与解析式中哪些量有关.解析:(1);(2)π.通过计算可知与x前面的系数有关,进而可总结为对于函数y=Asin(ωx+φ)的周期为T=.二、正弦函数和余弦函数的最值正弦函数y=sinx当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时取最大值1,当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时取最小值-1;余弦函数y=cosx当且仅当x=2kπ(k

4、∈Z)时取最大值1,当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时取最小值-1.2.函数y=sinx,x∈[0,π]的值域还是[-1,1]吗?解析:正弦函数在整个定义域R上的值域为[-1,1],在确定函数的值域时,要注意函数的定义域区间,事实上,y=sinx,x∈[0,π]的值域是[0,1].1.若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则ω的值为(C)A.1    B.2    C.4    D.82.函数y=sin是(A)A.周期为2π的偶函数B.周期为2π的奇函数C.周期为π的偶函数D.周期为π的奇函数解析:y=sin=cosx为偶函数

5、,T==2π,故选A.3.下列说法不正确的是(D)A.正弦函数、余弦函数的定义域是R,值域是[-1,1]B.余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π(k∈Z)时取得最小值-1C.正弦函数在每个区间(k∈Z)上都是减函数D.余弦函数在每个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是减函数4.f(x+3)=f(x)对x∈R都成立,且f(1)=5,则f(16)=5.解析:∵f(x+3)=f(x),∴f(x)是周期为3的周期函数,f(16)=f(5×3+1)=f(1)=5.1.函数y=cosx的最小、最大值分

6、别为(D)A.0,1       B.-1,1C.-,1D.-1,解析:由y=cosx,≤x≤的图象(如下图)知:当x=时,y=cosx有最大值.当x=π时,y=cosx有最小值-1,故选D.2.函数y=sin是(D)A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析:由诱导公式得,y=sin=-cosx,所以该函数为周期为2π的偶函数.3.函数y=的周期是(C)A.2πB.πC.D.4.函数y=1+sinx最大值为(C)A.0B.1C.2D.3解析:当x=时,y=1+sinx有最大值2,故选C.5

7、.函数y=4sin+1的最小正周期为(B)A.B.πC.2πD.3π解析:y=4sin+1的最小正周期为T==π.故选B.6.已知函数y=cos(ω>0)的最小正周期为,则ω的值为(C)A.1B.±3C.3D.解析:∵y=cos(ω>0)的最小正周期为T==,∴ω=3,故选C.7.函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为(B)A.2B.0C.-D.68.如果

8、x

9、≤,则函数y=cos2x+sinx的最小值是(D)A.B.C.-1D.9.若f(x)=cosx,x∈N*,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=_______

10、_.解析:f(x)=cosx∵T==8,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos+…+cos=251++0+=0.答案:010.已知

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