高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）学案 新人教A版必修.doc

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1、第一章　三角函数三角函数1．4　三角函数的图象与性质1．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)1．理解正弦函数、余弦函数的性质：周期性和值域．2．利用正弦函数、余弦函数的图象确定相应的对称轴、对称中心及周期等．3．利用正弦函数、余弦函数的单调性求与弦函数有关的单调区间．一、正、余弦函数的周期1．周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．对周期函数的理解要注意以下几个方面：(1)f(x＋T)＝f(x)是

2、定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x的值，x＋T仍在定义域内，且等式成立；(2)周期T是非零常数，是使函数值重复出现的自变量x的增加值；(3)周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f(x)的周期，那么nT，n∈Z，n≠0也一定是函数f(x)的周期；(4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无界集，至少是一方无界；(5)周期函数并不仅仅局限于三角函数，如函数y＝x－k，(k

3、的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．4．正弦函数和余弦函数都是周期函数.2kπ(k∈Z，k≠0)是周期，最小正周期是2π．1．求出下列函数的最小正周期：(1)y＝2cos；(2)y＝sin.体会这些函数的周期与解析式中哪些量有关．解析：(1)；(2)π.通过计算可知与x前面的系数有关，进而可总结为对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期为T＝.二、正弦函数和余弦函数的最值正弦函数y＝sinx当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取最小值－1；余弦函数y＝cosx当且仅当x＝2kπ(k

4、∈Z)时取最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取最小值－1．2．函数y＝sinx，x∈[0，π]的值域还是[－1，1]吗？解析：正弦函数在整个定义域R上的值域为[－1，1]，在确定函数的值域时，要注意函数的定义域区间，事实上，y＝sinx，x∈[0，π]的值域是[0，1]．1．若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω的值为(C)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．82．函数y＝sin是(A)A．周期为2π的偶函数B．周期为2π的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为π的奇函数解析：y＝sin＝cosx为偶函数

5、，T＝＝2π，故选A.3．下列说法不正确的是(D)A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[－1，1]B．余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时取得最小值－1C．正弦函数在每个区间(k∈Z)上都是减函数D．余弦函数在每个区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是减函数4．f(x＋3)＝f(x)对x∈R都成立，且f(1)＝5，则f(16)＝5．解析：∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期为3的周期函数，f(16)＝f(5×3＋1)＝f(1)＝5.1．函数y＝cosx的最小、最大值分

6、别为(D)A．0，1　　　　　　　B．－1，1C．－，1D．－1，解析：由y＝cosx，≤x≤的图象(如下图)知：当x＝时，y＝cosx有最大值.当x＝π时，y＝cosx有最小值－1，故选D.2．函数y＝sin是(D)A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：由诱导公式得，y＝sin＝－cosx，所以该函数为周期为2π的偶函数．3．函数y＝的周期是(C)A．2πB．πC.D.4．函数y＝1＋sinx最大值为(C)A．0B．1C．2D．3解析：当x＝时，y＝1＋sinx有最大值2，故选C.5

7、．函数y＝4sin＋1的最小正周期为(B)A.B．πC．2πD．3π解析：y＝4sin＋1的最小正周期为T＝＝π.故选B.6．已知函数y＝cos(ω>0)的最小正周期为，则ω的值为(C)A．1B．±3C．3D.解析：∵y＝cos(ω>0)的最小正周期为T＝＝，∴ω＝3，故选C.7．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为(B)A．2B．0C．－D．68．如果

8、x

9、≤，则函数y＝cos2x＋sinx的最小值是(D)A.B.C．－1D.9．若f(x)＝cosx，x∈N*，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝_______

10、_．解析：f(x)＝cosx∵T＝＝8，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251＋＋0＋＝0.答案：010．已知