现代控制理论1状态空间表达

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1、现代控制理论教材及参考书时域部分：刘豹主编，现代控制理论，机械工业出版社复频域部分：郑大钟主编，线性系统理论，清华出版社其它参考：线性系统理论；线性系统理论前修课程：线性代数；自动控制原理。学时数：32考核形式与要求：1）听课率80%以上2）独立完成作业3）完成自学内容。4）课堂提问达到要求5）期末考试主讲：刘贺平1状态空间表达式1．1状态变量及状态方程（1）状态变量：完全表达系统运动状态的最小个数的一组变量.例如，n阶微分方程描述的系统有n个变量。变量的选取不唯一，但要相互独立.（2）状态向量：若，为状态向量，则

2、称为状态向量，。（3）状态空间:以x(t)各分量为坐标轴所构成的n维空间。x(t)在状态空间中是一条轨迹，称为状态轨迹。（4）状态方程：形式为，其中，，，A，B为矩阵，当u为标量时B→b为n1矩阵.（5）输出方程：y=Cx+Du,y∈，,,（6）状态空间表达式：将状态方程和输出方程合并一起表示一个系统.（7）方块图：DBCuxyA1.2模拟结构图。见P13图1-3，1-4，1-5，1-6.1.3状态方程的建立(1)由框图→状态方程例P15,图1-7，（a）,rruy-变换方法：例如第一个环节，→→→rrcrc∫-由

3、此可得P15的图1-7-b)。u状态方程为:(2)机理分析根据研究对象的物理规律，用数理分析方法写出描述运动规律的数学表述.例：直流他励电动机工作原理如图:u选，=,则有，.电枢回路；，动力学方程为：——转矩系数，——反电势系数，B——摩擦系数.整理后得：即1.4由传函写状态方程(1)传函中无零点的情况对应的微分方程为：设则，即+u例：设，则，,,.(2)传函中有零点的情况①m

4、方程有变化.(3)多输入多输出系统的实现以一双入双出系统为例(1-35)按高阶导数项求解则:进一步：结构图如图1-17(P28)取每个积分器的输出为一个状态变量，则:,用状态方程表示则：其中：，，1.5状态向量的线性变换(1)状态方程的非唯一性设给定系统：设T为nn维非奇异矩阵，作变换：则变换后变换矩阵T可取任意非奇异矩阵，因此，状态空间表达式是不唯一的。(2)特征值的不变性证明：变换后的特征方程：(3)变换A为约旦标准型原系统为：作变换后：其中J为约当标准形矩阵1)一般情况：①A有n个互异根，设为的特征向量，则变

5、换矩阵为：由特征向量的定义，则有两边用左乘得例：令:解得特征方程为：可以解得特征根为由，即进一步写成:(注:1*原为-1)得:,(令P13=1,为计算方便需取基础解系的最简形式).由，得，取简单形式，得:类似地，由，可得：于是：=，变换后:，于是得到变换后的状态空间描述为:2)A为标准型A的特征根无重根A的特征根有重根，以为三重根为例,T=1.6由状态方程求传递函数矩阵设系统的状态方程为：（1）一般情况在零初始条件下，将上式进行拉氏变换可得:因此传递函数矩阵为：如果线性变换为:变换后传递函数矩阵为:*线性变换不会改

6、变传递函数矩阵、不会改变特征值、不会改变原系统的运动规律。(2)子系统的反馈连接系统2在系统1的反馈通道，，其中①状态方程:即:②传递函数矩阵各子系统的传函为:由图可得：于是得到：另一种形式为：两个公式是等价的，证明：