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时间：2018-09-25
《平面上定长的封闭光滑曲线所围面积最大问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等周问题在周长相等的一切封闭曲线中，怎样的曲线包围的图形有最大的面积？这就是著名的等周问题。早在古代，人们就已经意识到这样的曲线应该是圆周，但这一事实的严格的数学证明还是到近代才出现的。平面上一定长的封闭光滑曲线所围图形的面积最大问题定理平面上一定长的封闭光滑曲线中所围图形的面积最大者一定圆周曲线。7定理1设，是周期为的函数（），且，则有，等号成立当且仅当存在常数，使得，或存在常使得。证明利用Fourier级数展开理论，可给出证明。（已有结果，也可查找到。）设平面区域的边界为，的面积记为，的周长记为。7建立适当平面直角坐标
2、系。设曲线上的点为。利用格林公式，得。在曲线上任取一点作为度量弧长的起点。将曲线上点的坐标看作是弧长的函数，因为有，所以。令，设是周期为的函数，也就是设为封闭光滑曲线。7利用格林公式，可以得到下面的结论，其中常数，满足，；考虑由定理1的结果，得，，代入上式，则有7，即，于是，等号成立存在常数，使得，，且，，由此，可推知，，7即得，，从而有，即得为圆周曲线，此时为一圆盘，结论得证。我们已知下列事实：周长固定的矩形中，正方形的面积最大。周长固定的三角形中，等边三角形的面积最大。求周长为定值的三角形中面积最大者。7四边长为定值的
3、四边形，何时面积最大。求周长为定值的四边形中面积最大者。7
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