光滑曲面上曲线的生成及其性质研究

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1、南京航空航天大学硕士学位论文光滑曲面上曲线的乞成及其性质研究姓名：王宁申请学位级别:硕士专业:计算数学指导教师:唐月红2002.3.1南京航空航天大学硕士学位论文摘要本文研究出盥曲厘曲线的计算机表示、插值与逼近等。具体讨论圆柱螺旋线的三角有理表示和球面曲线的生成。首先，归纳总结极坐标有理方法和样条方法以及它们的性质。还给出•样条曲线的算法和节点插入算法。其次，给出圆锥曲线弧及其补弧的三角有理表示：以及任意角度二次曲线弧的极坐标样条表示。再次,建立柱坐标系，给岀圆柱螺线的三角有理W表示。知于其控制顶点的确定给出了两种方法。方法一，使逼近螺线在连接点处连续,得到的逼

2、近螺线与理论螺线在两端点及中心理误差为零。方法二,增加重合点,使理论螺线和逼近螺线在五点处重台，从而反求出控制顶点,使误差带更窄。两种方法均给出误差估计，使逼近螺线可达到任何预先给定的精确阶?,之厂一最后，给出球面曲线生成算法:用球面上测地线??劣大圆弧代替直线段，将欧氏空间时中的递推算法推广到球面上构造曲线。并且讨论了这种曲线的若干性质，有类似于欧氏空间中的性质，还指出其不具有类似于欧氏空间中的曲线的分裂性质，同时给出球面曲线的插入节点算法。还给出球面上等距节点二次和-:次样条曲线的插值方法。作为对曲线生成算法和性质以及插值方法的应用，最后给出了一些图形实例。

3、？•歹一盏关键词：曲线荃曲面圆柱螺线球面曲线五方法圆锥宣凌误差分折正弦基函数测地线几何性质光滑曲面上曲线的生成及其性质研究II南京航空航天大学硕士学位论文第一章绪论计算几何或计算机辅助几何设计是伴随着电子计算机的诞生逐渐形成发展起来的一门边缘学科【。。它主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合,是计算数学理论联系实际最活跃的分支之一。它起源于飞机、船舶的外形放样艺，由”、、等太师于世纪年代奠定理论基础。典型的曲面表示，世纪年代是技术和技术，世纪年代是样条技术】，世纪年代是有理样条技术。现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理•样条球:

4、.•参数化特征设计利隐这两类方法为主体，以式代数曲面表示插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。其中,瓜方法已于年被国际标准组织正式颁布为关于工业产品几何定义的标准，并将其作为定义工业产品形状的唯一的数学方法。方法将、有理、•样条、有理•样条曲线曲面统一在刈的表达形式中，使算法数据库统一，越来越多的，系统采用曲线曲面来建立图形库。因此研究各种曲线、曲面的表示是很有意义的。随着计算机图形显示对于真实性、实时性、和交互性要求的日益增强,随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步

5、伐的H益加快,随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在近几年来得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术己从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差;从表示方法来看，以网格细分为特征的离散造型与传统的连续造型相比,太有后来居上的创新之势。而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水,得到了高度的运用。我们知道对于封闭曲线特别是圆弧或圆，采用极坐标尤其方便。因此,近年来又出现了极坐标

6、系下的有理方法和•样条方法。年，•缸首次将方法拓广到了极坐标的情形。给出了拟三角基函数形式的有理表示，年又将•样条拓广到极坐标的情形•给出了拟三角基函数形式有理样条表示，精确描述圆锥曲线，并导出了以极角为参数的曲线递推算法等【”。年他进一步讨论了在极坐标系下高阶圆的生成，给出了具体的计算公式，具有控制顶点特別容易确定的优点，即权因子是径长的倒数••O年最新文献研究了圆内外旋轮线的正弦基函数有理表示【。这进一步增强了光滑曲面上曲线的生成及其性质研究方法和•样条方法的功能。圆锥曲线是一类比较常见、实用和简单的二次曲线。有关圆锥曲线的描述出现的文献很多,尤其是对圆弧和

7、整圆的描述详见文献】、］o指出在采用多项式有理•样条表示时，用正权因子和有限远控制顶点，不用重节点就不可能表示整圆。然而，采用三角基函数•样条表示时，却可以使这种不可能成为可能。文给岀了直角坐标系下圆锥曲线比较详尽的描述，它是通过仿射变换将圆映射为椭圆，还利用固定切向分割，通过插入节点来给出各种二次曲线弧的表示，这种方法计算比较复杂。文给岀了极坐标系下，通过射影变换将圆殃射为椭圆、双曲线或抛物线。本文给出了另外的方法来生成二次曲线。空间曲线的造型在计算机辅助设计和图形学领域有着十分重要的意义，如一般曲面的交线，管状曲面的轴心线等都是典型的空间曲线。空间曲线一般也

8、可用曲线或•样条曲线来进