关于光滑曲线的距离定理

《关于光滑曲线的距离定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、关于光滑曲线的距离定理摘要：本文就条件最值问题进行讨论，提出拉格朗日乘数法的一个不严密之处。然后将问题过渡到点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离问题，给出一类这种问题的两个充分条件，最后建立与光滑曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法。关键词：条件最值、光滑曲线、公共法线TheoremonthesmoothcurvesofthedistanceAbstract：Thisarticlediscussedtheissueofconditionsofmostval

2、ue,proposedaLagrangemultipliermethoddoesnotclosetheoffice.Thentheproblemtopointtothetransitioncurve(surface)andthecurve(surface)tothecurve(surface)thereistheshortestdistanceproblem,weobtaintwosufficientconditionsforthisproblem,andfinallyestablishasmo

3、othcurvefromthetwonatureofthetheorem,theywereseekingthroughanewmethodofdistance.Keywords：Conditionsofmostvalue、smoothcurve、normalpublic.1引例：问题的提出8在目前被广泛采用的一些《数学分析》教材中，对涉及到求一个点到曲线（面）的距离，或曲线（面）到曲线（面）的距离时，通常是采用拉格朗日乘数法，把它转化为求无条件极值的问题．下例便是许多教科书中普遍采用的一个例子：

4、例1[1,2]抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离．对于这类条件最值的问题，从理论上讲，必须先判断所求问题一定存在最大值或最小值，然后通过求条件极值及与边界值、不可导点的值比较来得到条件最值[3]．如文[1]在对例1的解答中指出：例1中问题的实质就是要求函数在条件及下的最大、最小值问题．因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值．例1中最值的存在性是依据“有界闭集上的连续函数一定存在最大值与最小值”这一定理，但对于无界的集合就不一定具有这一特性，条件最值的存在性须另

5、证明，对具体问题要作具体分析．例2[1,2]求函数（）在条件（）下的最小值．在文[2]及[4]中用拉格朗日乘数法求出稳定点后指出：由于函数没有最大值，所以稳定点就是使函数达到最小值的点．例3[5]求椭圆曲面到平面的最短距离．8在文[5]所作的解答中也是未加任何说明，就直接指出它们之间存在最短距离．笔者认为以上说法值得商榷，关于最小值的存在性的仅凭其没有最大值而做出的判断缺乏理论根据，特别容易引起初学者的理解偏差．其中例1与例2是属于同一类型的问题，它们都是点到曲线（曲面）的最短距离问题，例2中问

6、题的实质就是求维实空间中坐标原点到超平面（）的距离平方的最小值．而例3是曲线（面）到曲线（面）之间的最短距离问题，那么是不是任意两条光滑曲线之间都存在最短距离呢？下面的反例说明该结论不真．反例　双曲线（）与直线之间不存在最短距离．因为双曲线上的任何点与直线上的任何点之间的距离一定大于１，而且对任何正数，一定存在双曲线上的点与直线上的点，使得它们之间的距离满足：．为方便应用，本文首先给出一类点到曲线（面）以及曲线（面）到曲线（面）存在最短距离的两个充分条件．在此基础上给出本文的主要结果—建立与光滑

7、曲线的距离有关的两个性质定理，通过它们获得求距离的一种新方法．2最小距离的存在性条件定义1[6]设维实空间中任意两点，，规定距离．定义2[6]设、是中两个非空点集，它们的距离定义为．8定义3设、是中两个非空点集，如果存在，使得称点集、之间存在最短距离．定理1　设平面曲线由方程给出，并且它满足隐函数定理条件．则平面上任一定点与该曲线之间存在最短距离．证明　记平面曲线构成的点集为，即，根据距离的定义，结合下确界的性质，故对于正数，存在使　　　　　　　（）　　　　　（1）由上式知上的平面点集有界，所以

8、必存在收敛的子列．若记，，则由子列收敛，记，知两子数列、也收敛．设，，由及的连续性，令，则，故．根据（1）及距离的三角不等式，有　　（2）注意到，对（2）两边令，得（3）故存在曲线上的点，使得．定理2　设两条平面曲线与分别由方程与给出，并且它们都满足隐函数定理条件，并且至少有一条曲线构成的点集有界。则曲线与之间存在最短距离．8证明　为方便计，我们以与分别表示由这两条曲线所构成的点集，根据距离与确界的定义，则有．不妨设有界，记函数，．下面先证明函数在上连续，为此考虑中任意两点、，根据的定义，对，存