光滑曲线弧长公式.ppt

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1、定义1设平面曲线C由以下参数方程表示:§3平面曲线的弧长与曲率本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计算公式.一、平面曲线的弧长定义2设平面曲线C由参数方程曲线,则C是可求长的,且弧长为定理10.1(光滑曲线弧长公式)设曲线C由参数方若C为一光滑于是证因此由第一章§1习题6可知于是,即从而因此当f在[a,b]上连续可微时,示,则C又可看作注1若曲线C由直角坐标方程表示,则C亦可看作注2若曲线C由极坐标方程由于解例1例2解解段弧长.例3在光滑曲线上,弧段与的长度相差不*二、平面曲线的曲率曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯

2、曲程度却很不一样.转过的角度要大得多比动点从Q移到R时切线.到Q时,切线转过的角度这反映动点沿曲线从P移设表示曲线在点处切线的倾角,表示动点由P沿曲线移至时切线倾角的增量.若之长为,则称为弧段的平均曲率.如果存在有限极限则称此极限K为曲线C在P处的曲率.由于曲线光滑,故总有可得即若曲线由表示,则例1求椭圆上曲率解由于最大和最小的点.因此椭圆在各点的曲率为当时,在处曲率最大,在由例1可得,若则各点处曲率相等,为处曲率最小,显然,直线上各点处的曲率为0.设曲线上一点P处曲率若过P作一个半径为的圆,使它在点P处与曲线有相同的切线,并在P近旁与曲线

3、位于切线的同侧(见图).在P处的曲率圆.曲率圆率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径,曲我们把这个圆称为曲线火车轨道从直道进入半径为R的火车的向心加速度以保证火车安全(使道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨例2如图所示,对此曲线用曲率公式得:缓冲曲线常用三次曲线的曲率从0渐渐增加到接近于从而起了缓冲因此曲线段作用.作业：P252：1(2，3，5)，2（3），3