《光滑曲线的弧长》word版

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1、§1.3光滑曲线的弧长一、空间曲线的弧长计算公式设是一条光滑曲线。点与分别是的起点和终点。问题是曲线的长度如何求出。解法如下：我们按照的定向，在上依次取个点，（1）它们把曲线分为个小弧段。用线段的长度作为弧段“弧长”的一个近似值。22用直线段把相邻的分点连结起来，即得一条折线，它的长是。并把条线段的长度之和作为的“弧长”的一个近似值。如果设点对应着参数值。那么，（2）这说明曲线上的一个分割（1），导致了参数区间上的分割（2）；反之亦然。22这时。利用微分中值定理，我们有其中由此可知，把分割（2）记为。由于与都

2、是上的连续函数，它们在上有界。22所以存在一个常数，使，其中；由此可得。这表明，将参数区间无限加细时，将导致分割（1）把曲线无限加细。我们有，（3）当时，如果（3）的极限存在，那么取这个极限作为的弧长的定义是十分合理的。当时，（3）的右边是否有极限？22因为虽然在内，但未必彼此相等。定理8.1设在上有连续的导函数，那么我们有，（4）证明：设，由三角不等式，可知在上一致连续。因为在上连续，所以在上连续，所以在上可积；对分割，有，22；由三角不等式及在上一致连续，可得（），于是，成立。这就是说，对于光滑曲线，可以

3、定义的弧长为22，或者用向量的记号。平面曲线：的弧长。定理设在上连续，在上连续，且，，，（）；对的任意分割，记，。任取，22则有。证明取，则有，由于一致连续和在上一致连续，可得（），于是，成立22。此定理的类似思想结果有用处。例1.求半径为的圆的周长。解：：，。例2.求旋轮线（摆线）：,的一拱的弧长。解：,，因此，旋轮线的一拱的弧长是22。一、平面曲线弧长计算公式平面曲线：，。（1）曲线：，，，。22（1）曲线：所以。三．光滑曲线弧长参数曲线方程的弧长参数表示设曲线：，是一条光滑曲线。（即在上连续，且，。）考

4、察参数的函数，，22它表示的是从曲线的起点沿着该曲线算到曲线上任一点这一段弧长。弧长微分，。因为，，所以是的严格递增的函数，因此可以将作为的函数反解出来，得到，这也是一个严格递增的函数。于是曲线可表示为，它是的向量值函数。所以，我们可以把向量方程直接记为，这里参数是从某一点算起的一段弧的弧长。22（此表示有很大的方便好处和实际意义。例如设置在一条道路上的一个个里程碑牌子，方便于各种使用，例如报告在道路上的位置；卷尺子上的刻度，把一个软尺任意弯曲，构成一条曲线，此曲线自带弧长参数。在一条曲线上刻上刻度或附上有刻

5、度的软绳线，就得自然参数表示了。）设曲线：（）是一条光滑曲线，这里参数是弧长参数。我们把称为曲线的自然参数。此时，显然有，于是，从而，即得切向量是单位向量。22对曲线方程的一般参数形式，；设是，这一段的弧长，则有，，，。例4考虑圆的参数方程,。由于，所以有弧长参数表示，，。22显然，。例，；与，。表示同一条曲线，此曲线的弧长参数表示为，，。曲线弧长计算举例例1.试求的弧长.解的定义域为,对函数求导,得,故弧长.22例3.求阿基米德螺线,最初一圈的弧长.解.例4.试求曲线的弧长.解由确定的变化范围,解不等式,得

6、,于是.22例5.试证:曲线的弧长等于椭圆的周长.证明:,椭圆的参数方程为,;,故有.例6求双曲螺线从计算起的弧长。22其中，。解，从计算起的弧长为。22证明：内切于一给定正方形的所有椭圆中，以圆的周长为最大.证明：根据题设条件可知，内切椭圆的两个轴一定分别在正方形的两条对角线上.设正方形的边长为。以正方形的中心为坐标原点，两对角线分别为轴轴，建立直角坐标系。设椭圆的方程为，正方形一条边所在的直线方程为，设切点为，切线斜率为，又，22所以，，代入，得，由，得，令，，，则椭圆周长，，利用不等式，22，又注意到，

7、，且等号成立当且仅当，当且仅当，22故当时候，达到最大值.22