对弧长的曲线积分

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1、第四节对弧长的曲线积分一、弧微分二、对弧长的曲线积分的计算（第十章第一节）G表示的几种几何形体以及其上的积分：D闭区间[a,b]L(平面有界闭区域)（平面有限曲线段）（有限曲面片）(空间有界闭区域)(空间有限曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分几何形体上的积分重积分对弧长的（第一型）曲线积分对面积的（第一型）曲面积分当G为平面或空间有限光滑(或分段光滑)曲线(L或)时，积分称为对弧长的曲线积分或第一型曲线积分,即当L(或)为简单闭曲线时,对弧长的积分记为计算思路：化为定积分来计算点在L上变化复习弧长微分概念(1)直角坐标情形对有弧长微分公式斜边取以直代曲一、弧长微分

2、(2)参数方程情形曲线弧为且在上具有连续导数弧长微分(化为定积分)（1）参数方程情形其中且设曲线二、对弧长曲线积分的计算1.平面曲线积分(化为对t的定积分)因此计算公式计算公式注1:故右端的定积分存在.注2:在第一型曲线积分的计算中,定积分的下限一定要小于上限.（2）直角坐标情形化成参数方程若例1计算其中L的方程是解例2计算其中是以为顶点的三角形边界.是分段光滑弧段,解在OA上，故在AB上，故故在BO上，因此2.空间对弧长的曲线积分计算(参数情形)曲线平面情形的推广例3计算其中是螺线的第一圈解以圆弧的圆心为坐标原点,例4有一段铁丝成半圆形L，半径为R，其上任一点的线密度的大小等于该点到

3、其两端点连线的距离，求其质量.L的对称轴为y轴,则建立坐标系(如图).解L的参数方程为小结对弧长的曲线积分的计算----化为定积分1.把积分路径L代入被积函数；2.根据积分路径L的不同的表示形式，求出弧微分.3.定出定积分的上下限，下限小于上限.(1)曲线弧为参数方程的计算(2)曲线弧的方程为显函数方程的计算将显函数方程化为参数形式：思考题1.以下两式正确否？区域则(错误)曲线则(正确)2.若有不均匀的椭圆形构件，其上一点的线密度则此椭圆形构件的平均线密度是提示：平均线密度=质量M/曲线长L平均线密度平均线密度讨论题由此给出对弧长的曲线积分的几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，

4、可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积（y=y(x)为底边，z=f(x,y)为高的面积）平面上对弧长的曲线积分几何意义：作业P.131