对弧长的曲线积分(II)

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1、(曲线积分与曲面积分)第十章曲线积分与曲面积分线积分和曲面积分.上一章将定积分的概念推广到重积分,被积函数是二元函数,积分区域是平面区域.如果二元函数是定义在平面上一段光滑曲线上或一片曲面上,这样推广后的积分称为曲第一节对弧长的曲线积分一对弧长曲线积分的概念与性质1.曲线型物件的质量:设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为ρ(x,y),现在要计算这物件的质量M.分割----近似代替----求和----取极限无穷细时,以均匀代替非均匀.我们分四个步骤来进行:计算思路:若构件的线

2、密度为常量,则构件的质量为M=ρL,故当分割L分割为n个小段,取其中一小段Mi-1Mi来分析;(ξi,ηi)处的线密度ρ(ξi,ηi)代替小段的线密度,故得小段计算步骤:AB(ξiηi)xyo(1)分割:用L上的点M1,M2,…,Mn-1将(2)近似替代:当分割无穷细时,用Mi-1Mi小段上任意一点的质量近似值为:(3)求和:整个构件质量近似值为(4)取极限:为第一型曲线积分.记为设f(x,y)定义(即函数有界,或函数连续)在平面光滑曲线L上，2.对弧长的曲线积分定义A,B为L的端点,把L任意分成n段小弧.每一小段的长度为△Si,在该小段内取一点(ξi,ηi)(i=1,2..n),作

3、乘积f(ξi,ηi)△Si，并作和式Σf(ξi,ηi)△Si.当λ→0时,这和式的极限存在,则称该极限值为函数f(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分,并称3.推广:若积分弧段为空间曲线弧Γ,则函数f(x,y,z)在曲线弧被积函数积分曲线注意:以后总假定被积函数f(x,y)在积分曲线L上是连续的.Γ上对弧长的曲线积分为4.对弧长的曲线积分的性质性质1线性性质其中k1,k2为常数.性质2对积分弧段C具有可加性若曲线C分段光滑,且C=C1+C2,则因为:定义中的ds对应于△Si,是每个小弧段的长度,与弧段的性质3对弧长的曲线积分与曲线的方向无关定向无关.注意这一性质和定积分不同.注意:若L为

4、封闭曲线,则可记曲线积分为性质4设在L上f(x,y)≤g(x,y),则性质5对弧长的曲线积分有特别地oxyzM(x,y)f(x,y)C以xoy平面上的曲线C为底,变高为f(x,y)的平行于z轴的柱面对弧长的曲线积分的几何说明:的侧面面积S二对弧长曲线积分的计算公式定理设f(x,y)在曲线L上有定义且连续，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且oyxAMBLL的参数方程为则曲线积分存在,且它们对应一列单调增加的参数值α=t0

5、注意：上限β要求大于下限α.证明:假定当参数t由α变到β时,L上的点M(x,y)由A点变到B点的方向描出曲线L.在L上取一系列点A=M0,M1,M2,...Mn=B根据对弧长的曲线积分的定义,有设点(ξi,ηi)对应于参数值τi，这里ti-1≤τi≤ti，由于应用积分中值定理,我们有于是因此上式左边的曲线积分也存在,并有由于这函数在这区域上连续,所以这定积分存在,上式右端的和的极限,就是函数在区域[α,β]上的定积分,公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分然后从α到β作定积分.把x,y,ds依次换成φ(t),ψ(t),时,只要如果曲线L的方程为y=ψ(x),此时只要把x看成参数t,同理

6、,如果L的方程为方程(1)变为这样方程(1)变为公式(1)可推广到空间曲线Γ,设Γ的参数方程为则(3)把ds写成参变量的微分式,并把曲线的参数方程代入被积函数中进行计算计算对弧长的曲线积分是化为参变量的定积分进行计算.其解题程序为：(1)画出积分路径的图形;(2)把路径L的参数式写出来:x=φ(t),y=ψ(t),α≤t≤β曲线化为参数方程.注意:(1)该积分是通过曲线参数方程化为定积分计算的,因此参数的选择很重要.一般我们利用三角公式或投影公式把1）如果L是平面曲线：若积分路径为y=0,则f(x,y)→f(x,0),ds=dx.若积分路径为x=0,则f(x,y)→f(0,y),ds

7、=dy.若积分路径为y=kx,则f(x,y)→f(x,kx),曲线的参数方程,(投影曲线是从两个空间曲面方程中消去z,2）如果L是空间曲线(两个曲面的交线)，我们用L的投影得到只有x,y的方程,即是投影方程,再根据具体情况得到参数方程)把它代入空间曲线方程中得到z的参数表达式.(2)在计算式中,我们发现积分路径L的表达式可直接代入积分式中,其原因是积分路径是以等式的形式出现,而二重积分是以不等式的形式出现.(3)参数大的作为上限β,小的为下限α.1)参数式