D101对弧长和曲线积分(II)

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1、第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分第十章一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量采用设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义

2、下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对如果L是xoy面上的曲线弧,如果L是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.3.性质（k为常数)(由组成)(l为曲线弧的长度)二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义点设各分点对应参数为对应参数为则说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述

3、计算公式相当于“换元法”.因此如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则一代、二换、三定限代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换：换弧微元定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)几何与物理意义（4）曲线弧对轴及轴的转动惯量（5）曲线弧的质心坐标例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得例4.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:

4、线例5.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分注关于对弧长的曲线积分的对称性①若关于轴对称当时，当时，其中是的关于轴对称的部分弧段若关于轴对称当时，当时，其中是的关于轴对称的部分弧段与重积分的对称性十分类似若关于原点对称当时，当时，其中是的对称的部分弧段若关于直线对称例6.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知思考:例6中改为计算解:令,则圆的形心在原点,故,如何例7.计算其中为球面解:化为参数方程则例8.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.内容小结1.定义2.性质(l曲线弧的长度)3.计算•对光滑曲线弧

5、•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为ρ(常数).(2)L的质量而(1)故重心坐标为备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分2.L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为3.解4.解(1)L：(2)L：5.解