高三数学课时复习闯关检测29

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1、一、选择题1．(2011·高考重庆卷)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.B．4C.D．5解析：选C.∵a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.2．(2013·广东三校联考)已知x>0，y>0，xlg2＋ylg8＝lg2，则＋的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．2解析：选C.∵xlg2＋ylg8＝lg2x＋lg23y＝lg(2x·23y)＝lg2x＋3y＝lg2，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝

2、，即x＝3y＝时，＋取得最小值4，故选C.3．设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为(　　)A．6B．9C．12D．15解析：选B.(x＋y)(＋)＝＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，即2x＝y时，原式最小值为9.4．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选D.a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．5．(2012·高考湖南卷)已知两条直线l1：y＝m和l2:y＝(m＞0)，l1与函数y

3、＝

4、log2x

5、的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝

6、log2x

7、的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为(　　)A．16B．8C．8D．4解析：选B.数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知

8、log2xA

9、＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝

10、4，m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.二、填空题6．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．解析：∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.答案：－27．(2011·高考浙江卷)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析：设2x＋y＝t，∴y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，整理得6x2－3tx＋t2－1＝0.关于x的方程有根，因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t2－1)≥0，解得－≤t≤.则2x＋y的最大值是.答案：8．(2012·高考江苏卷)已知正数a，b

11、，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．解析：由条件可得令＝x，＝y，则问题转化为约束条件为，求目标函数z＝＝的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点C时，zmax＝7，故∈[e,7]．答案：[e,7]三、解答题9．求＋a的取值范围．解：显然a≠4，当a>4时，a－4>0，∴＋a＝＋(a－4)＋4≥2＋4＝2＋

12、4，当且仅当＝a－4，即a＝4＋时，取等号；当a<4时，a－4<0，∴＋a＝＋(a－4)＋4＝－[＋(4－a)]＋4≤－2＋4＝－2＋4，当且仅当＝4－a，即a＝4－时取等号．∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]∪[2＋4，＋∞)．10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋＞3.证明：左式＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3.∵a，b，c为不全相等的正数，∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，且等号不同时成立．∴(＋)＋(＋)＋(＋)－3＞3，即＋＋＞3.11．(探究选做)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形

13、栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告的面积最小？解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0.则广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2＝18500＋2＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而

14、b＝75.即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500.故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．